Gerhard Neumann: Eigenschwingungen der Ostsee 
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Die Lösung der Differentialgleichung 9) mit den Grenzbedingungen 10) soll auf dem Umweg über ein 
Variationsproblcm ermittelt werden. Nach einem bekannten Theorem der Variationsrechnung ist 9) mit den 
Grenzbedingungen 10) äquivalent mit der Aufgabe 
i i 
eT Glz/ = E xtremum ’ j u2 dz — konst., u (o) = u (1) = 0 
oder P | r it 2 1 dz = 3 (u) = Min. 11) 
J (\dz/ <f (z) j 
ipo (z), tpi (z), i//2 (z), tp m (z) seien m + 1 Funktionen, die denselben Grenzbedingungen 10) 
genügen, also 
ifn (0) = i//i (1) = 0, (i = 0, 1, 2 m). 12) 
u sei darstellbar durch die Reihe 
u = A 0 ip 0 + A, xpi -f A 2 + + A m 
Wir setzen in unserem Falle 
ipi (z) = z (1—z) • z' , 
damit sind die Grenzbedingungen 12) erfüllt, und u wird 
u = z (1—z) z' Ai. 13) 
i — O 
Den Ausdruck 13) setzen wir für u in 11) ein und bestimmen die Konstanten Ao, Ai, A 2 , A m 
so, daß 3 (u) ein Minimum wird. 
83 13 83 83 
8Aa * 8 A, U ’ 0 A 2 * 8 A m 
^ = X [ 0 + 1) ** - 0 + 2) zi + i] Ai 
(^)= X! A , TO+I) z‘- 0 + 2) *'+ , l • X Aj |~(j + 1) zJ - (j+ 2) zl + n 
i “ O “““ j == o — — 
|^= X / jo + *) z ‘ — 0+2) z^} |(j + 1) 7> — (j + 2) zi +1 J dz 
, P z (1—z) z 1 • z (1—z) z* , *1 . . ... 
J a (z) J 
(j = 0, 1, 2 m) 
Das erste Integral kann in geschlossener Form berechnet werden. 
1 j f i - - ‘O+D + o+Di + o+nq+i) _Au-z).'..ci-.)^ dz j A 0 
r+^h+j— i >+j 1 l + j + i J <r(z) j 
(j = 0, 1, 2, m) 15 ^ 
Das zweite Integral 
-T C z 2 (1—z) 2 z‘ + J J _ 
3,+1 = J—Tw— dz 16a) 
0 
muß numerisch ausgewertet werden.