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Abb.3.3: Schematische Darstellung der Neuronenschicht in Kohonens Modell. 
№ = w n v i+ 'Zgrs ff - °)- (3-2) 
/ r’ 
Häufig ist diese durch g rr . bewirkte Rückkopplung vom Typ der "Umfeldhemmung" (laterale 
Inhibition), d.h. sie ist für kurze Distanzen erregend (g rr >0) (exzitatorisch), für lange Distan 
zen dagegen hemmend (g rr .<0) (inhibitorisch). Die Kopplungsstärke als Funktion der Distanz 
besitzt die Form einer "Mexikanerhut-Funktion" [Brause 91]. Es läßt sich zeigen, daß der 
Effekt einer (ausreichend starken) Umfeldhemmung g rr - in der Herausbildung räumlich in der 
Nähe der maximalen äußeren Erregung lokalisierter Erregungsantworten als Lösungen von 
[3.2] besteht. Im Falle einer stetigen sigmoiden Funktion ergibt sich ein räumlicher Erre 
gungsverlauf, der an einer Stelle r’ sein Maximum besitzt und von dort nach allen Richtun 
gen allmählich auf Null abnimmt, r’ wäre durch numerisches Lösen von [3.2] zu erhalten. 
Anstelle dieses aufwendigen Schritts macht Kohonen in seinem Modell eine Näherungs 
annahme und nimmt für r’ ersatzweise den Ort maximaler Erregung aufgrund der Eingangs 
signale v, allein, d.h. r’ bestimmt sich aus 
^ w r .,v, = max ^ w r ,v, (3.3) 
i r i 
Unter den beiden Voraussetzungen, daß die "Gesamtsynapsenstärke" per Neuron (Z,w r | 2 )' /2 
konstant und für jedes Neuron dieselbe ist, und daß alle Eingangssignale v gleiche "Intensi 
tät" |v¡1 = 1 haben, liefert die mathematisch oft bequemere Bedingung 
||Hv-v|| = min|K-v|| (3.4) 
r 
dasselbe Ergebnis für r’. Dabei steht die Metrik ||x|| für die euklidische Vektornorm (Xa, 2 )' 72 
und die Größe w r := (w rl , w r2 ,... w rd ) T faßt die Synapsenstärken von Neuron r zusammen. Für 
feste Synapsenstärken definiert [3.4] eine nichtlineare Projektion des Raums der Eingangs 
signale auf die zweidimensionale Schicht. 
Jedes Eingangssignal bewirkt an Synapse w rl ein Zusammentreffen der präsynaptischen 
Aktivität v, mit der aus [3.2] resultierenden postsynaptischen Aktivität von Neuron r. Die 
postsynaptische Aktivität von Neuron r ist gerade der Wert der Erregungsantwort der Schicht