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2.3. Statistische Modelle 
In der Statistik existieren eine ganze Reihe von Verfahren zur Zeitreihenanalyse und Progno 
se. Den Verfahren liegt i.a. die Theorie stochastischer Prozesse zugrunde. D.h. Zeitreihen 
werden systematisch als Realisierungen dynamischer Vorgänge mit Zufallscharakter ver 
standen [Schlittgen et al. 94]. In Abhängigkeit von der Registrierzeit (diskret oder kontinuier 
lich) und dem Zustandstyp (ebenfalls diskret oder kontinuierlich) werden vier verschiedene 
Typen stochastischer Prozesse unterschieden [Müller 86]. Pegelmessungen sind in ihrer 
Originalform (Pegelbögen) in Registrierzeit und Zustandstyp jeweils kontinuierlich und daher 
korrekterweise durch Gaußprozesse zu beschreiben. Um die Messungen aber der EDV- 
gestützten statistischen Auswertung zugänglich zu machen, werden sie digitalisiert, d.h. 
diskretisiert. In dieser neuen Form werden sie durch autoregressive Prozesse beschrieben. Die 
meteorologischen Größen Wind, Luftdruck und Temperatur sind ebenfalls vom kontinuierli 
chen Zustandstyp, werden an den Wetterstationen aber von vornherein nur zu bestimmten 
Zeiten gemessen. Weitere Größen wie z.B. Niederschlag und Sonnenschein werden nicht nur 
diskret registriert, sondern sind auch diskret im Zustandstyp. Zu ihrer Beschreibung dienen 
Markov-Ketten [Hess et al. 89a], [Fraedrich et al. 83], [Hess et al. 89b] und [Müller 86]. Die 
im folgenden beschriebenen statistischen Modelle wurden bis auf eine Ausnahme (Nearest 
Neighbor-Verfahren) nicht implementiert und dienen nur für Vergleiche mit neuronalen 
Netzen hinsichtlich ihres Vorhersagefehlers (Kap.3). 
2.3.1. Lineare autoregressive Prozesse 
Autoregressive (AR-)Prozesse sind Folgen von Zufallsvariablen, die verschiedenen zeitlichen 
Zuständen eines dynamischen Systems zugeordnet werden können. Die Zufallsvariablen sind 
dabei auf lineare Weise von denjenigen Variablen abhängig, die mindestens einem direkt vor 
angehenden Zustand des Systems entsprechen. AR-Prozesse können durch Moving Average 
(gleitendes Mittel) (MA-)Prozesse erweitert werden, die ebenfalls Folgen von Zufallsvariablen 
sind. Da sie aber im Gegensatz zu den Variablen der AR-Prozesse unabhängig sind, wirkt 
ihre Linearkombination wie ein gewichtetes gleitendes Mittel. Während "AR" die Rolle des 
inneren Gedächtnisses spielt, ist "MA" für die externe Eingabe zuständig [Gershenfeld et al. 
93] . Die freien Koeffizienten der aus AR- und MA-Prozessen kombinierten AR(-)MA- 
Prozesse können auf rekursive Weise, z.B. mittels Box-Jenkins-Verfahren [Schlittgen et al. 
94] an bestimmte Realisierungen, d.h. gemessene Zeitreihen, angepaßt werden. Typisch für 
die linearen ARMA-Modelle ist das Superpositionsprinzip, d.h. die Ausgabe des Modells läßt 
sich in das Eingabesignal und eine davon unabhängige Transferfunktion zerlegen. Außerdem 
ist das Fourierspektrum der Ausgabe nur dann ein breites Band von unstrukturiertem weißen 
Rauschen, wenn die Eingabe aus unkorreliertem weißen Rauschen besteht. Im Falle linearer 
Systeme gibt es einen direkten Zusammenhang zwischen den ARMA-Koeffizienten und den 
Autokorrelationskoeffizienten, wobei sämtliche Kreuzterme der Autokorrelation verschwinden 
[Gershenfeld et al. 93]. ARMA-Modelle setzen stationäre Zeitreihen voraus. Für einen 
bestimmten Typ von Instationarität von Zeitreihen eignen sich ARIMA-Prozesse (I für 
"integriert"). Die Zeitreihe wird durch sukzessive Differenzenbildung in eine stationäre 
umgewandelt. 
Um das dynamische System bestmöglich zu beschreiben, muß vor der Anpassung eines 
ARMA-Prozesses seine Ordnung bestimmt werden, d.h. die Anzahl der Koeffizienten, die 
angepaßt werden sollen. Als Maß für die bestmögliche Beschreibung des Systems kann der 
Vorhersagefehler eines ARMA-Modells mit gegebener Ordnung im Hindcast berechnet