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5 Anwendung der Ausgleichsrechnung 
Für die Ausgleichsrechnung nach der „Methode der kleinsten Fehlerquadrate“ ist es zweck 
mäßig, als Nullpunkt der Zeitzählung die Mitte des Beobachtungszeitraumes zu wählen und die 
Gleichungen (1) und (2) umzuschreiben (für (1) vgl. Dronkers [1964]) als 
N N 
f(t) = a 0 + 2 «v cos (o v t) + 2 b Y sin (<j v i) (9) 
v-1 v-1 
und 
2t 
f(t) = a 0 + 2 a v cos (a v {) + ^ 6, sin (cr v t) + 2 C >- cos (v wt) + ^d v sin (v cd t) + e • r;—j- 
v-1 v-1 v-1 v-1 Al 1, 
wobei 
r v = y/a* + ^v 2 ' 
(10) 
(9a) 
cp v = arctan — 
r a v 
. = yjcy 2 + d v 2 
v = 1, . . . , N, 
(10a) 
xüy = arctan — 
c v 
und 
v= 1,. .., k, 
p*+i - 
Ai-1 
ist. 
Den diskreten Zeiten i, seien die Beobachtungen y t zugeordnet. Es ist nach Voraussetzung 
ti+\ ~ tj = A t 
konstant und man kann 
h = i • A t, -M < i< + M, 
setzen, wobei sich M aus der ungeraden Anzahl der Beobachtungen zu 
AZ-jiNi-l) (11) 
bestimmt. Außerdem ist 
w = 
2 a 
V, A< 
(12) 
die Winkelgeschwindigkeit der Grundschwingung des Fourieransatzes. 
Wenn 
f =/(6) = y, + Vi, -M < t < + M, 
gesetzt wird, wobei n, die Verbesserungen sind, in Vektorschreibweise 
/= y + v, 
dann sollen also die Koeffizienten a v , b v im Falle (9), bzw. a v , b v , c r , d v , e im Falle (10) so bestimmt 
werden, daß die / 2 -Norm des Vektors v minimal wird./läßt sich schreiben als 
f=A x, (13) 
also 
A ■ x = y + v. 
Hier ist x der Vektor der Koeffizienten a v , b v bzw. a v , b v , c v , d v , e. Die Matrix A läßt sich (9) 
bzw. (10) entnehmen. Die Minimumsbedingung liefert nach der linearen Ausgleichsrechnung 
bekanntlich die folgenden Normalgleichungen 
N x = A’ A x = A’ y (14) 
A’ ist die transponierte Matrix von A, N die Koeffizientenmatrix des Normalgleichungssystems. 
Der Vektor der „rechten Seiten“ ist R = A’ y.