1 
CH 
Steppes, Otto: Krümmung der Loxodrome und Sechsuhrkreis, 
Gleichung der Loxodrome, die den Äquator im Punkt (0; vo) schneidet 
und den Kurswinkel a hat, mit der Bogenlänge s als Parameter 
X = Tp- COS U + COS [v, + tg a In tg (x/4 + u/2)], 
Y =)" Cosu- sin [v, + tg a- In tg (z/4 + u/2)], 
z=Ta-8inu, 
718 
8 & 
u = — +CO8ßa Ist. 
Ta 
Betrachtet man einen beliebigen Punkt (s,) = (g,, 4) der Loxodrome, so ist 
bekanntlich der Radius r, seiner tangentialen Krümmung gegeben durch 
1 
rz — u 
1 FE YL 7% 
wobei der Index ’ eine Differentiation nach s bedeutet, Führt man die Differen- 
tiationen in (10) aus, so findet man 
2 ra - sec? a - cos? u, 
n=- tg? a+costu, ) 
Daß die Krümmung nur von dem Kurswinkel « und von der Breite u abhängt, 
war zu erwarten; denn eine Verschiebung der Loxodrome parallel zum Äquator 
auf der Kugel ändert ihre Form nicht. — Weiter hat der Mittelpunkt des Krüm- 
mungskreises die Koordinaten 
2.” __ Fo: tga-sinu,- co8u,-S8in v, , 
a= NL tg? a + cos? u, 
a 2.” ____ To-tga-sinu,-co8u,-COSV; 
bsy LS tg? a + cos? u, 
= 2,7. To-tefa-einu, 
ea = tg? a + cos? u, 
wobei vı=% + ga In tg (z/4 + u,/2) gesetzt ist. 
Die Ebene des Krümmungskreises, d, i. die Schmiegungsebene der Loxodrome 
im Punkt (s,) = (x,, Yı, Zı), hat die Gleichung 
(14) cosa-cosu;, - SiN V, + (X — Xı) — cCO8 a + COS U, - COB Vi - (Y — yı) + sina - (z—zı) =0. 
‚  Bildet man nun die Gleichung ihres Schnittkreises mit der Kugel (9), so 
findet man, daß diese Gleichung identisch ist mit der des Krümmungskreises, 
hat also die Richtigkeit der oben ausgesprochenen Vermutung erwiesen; der 
Schnittkreis der Schmiegungsebene mit der Kugel muß natürlich die Loxodrome 
dreipunktig berühren. 
Der Vollständigkeit wegen sei noch die zweite Krümmung der Loxodrome 
angegeben: 
a 5 = _iga____, 
{15) normale Krümmung der Loxodrome im Punkte (s,) = — To: (tat a + cost u) 
II. Die Figur zeigt in senkrechter Parallelprojektion mit einem Meridian 
als Zeichenebene den Pol P, den Äqauator EQ, den svohärischen Mittelpunkt 
G = (go, 40) des Nebenkreises, den 
Punkt B =— (g,, /;) dieses Kreises 
und ein Stück BL = d der berüh- 
renden Loxodrome. L möge die 
Koordinaten ©, 4 haben, der Groß- 
kreisbogen GL sei o, der Groß- 
kreisbogen GB ist bereits mit ©, 
bezeichnet worden. 
Aus dem sphärischen Dreieck 
PGL folgt 
(16) cos @ = sing" 8ing + 
COS op + COS @ - COS (Ä — An) os 
Entwickelt man aus dieser 
Gleichung o nach Potenzen von (@— gı), wobei zu beachten ist, daß 2 als 
Funktion von @ durch die Gl. (1) gegeben ist, so erhält man einen Ausdruck