212 Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, Juli 1942,
Der Nebenkreis mit dem sphärischen Mittelpunkt (%, 4) durch den Punkt
(P1, 41) hat die Gleichung
{2) cos gg [COS @ + COS (A — Ag) — COS g, - COS (A -— Ag)] + sin q% - (sing — sing) = 0.
Soll dieser Kreis im Punkt (g,, 2,) die Loxodrome berühren, so muß er dort
den’ Meridian unter dem Winkel «x schneiden. Dann ist nach dem Kotangenten-
satz der sphärischen Trigonometrie
(3) sin (24, — A) tg a = tg op: COS P, — BIN P, + C08 (41 — A) +
Um die Bedingung für eine Berührung zweiter Ordnung im Punkt (Oı, 41)
aufzustellen, entwickelt man aus den Gleichungen (1) und (2) A nach Potenzen
von (g — g,). Man findet unter Berücksichtigung von (3)
{4) für die Loxodrome: A= 2A +(@— gi) -tga- sec g9,
+ 4 (9—g1)* tg a sin sec?
+ @— Pt tg sec, (1 + 2tg?gp,)
+
'5) für den Nebenkreis:
=, + (P— 1) tg a- sec g,
+ 3 (@— gg)? [tg a sin g, - sec? p, — sec? a - sec? g, - cotg (A; — As)]
d3 2
1X (D— BB.
+ + (9 Yı) (5A )
Setzt man die Faktoren von (9 — ,)* einander gleich, so ergibt sich die
Gleichung sec? a« - sec? g©,- cotg (A, — 4) =0, die nur durch
(6) A — 4 = 90° oder Ar — A = 270°
erfüllt wird. Für diese Werte geht die Gleichung (3) über in
{7} tg yo = 4 tga-secg_.
Berührt also ein Kugelkreis die Loxodrome dreipunktig, so hat sein sphärischer
Mittelpunkt den Längenunterschied 90° vom Berührungspunkt. Für den sphärischen
Radius o, dieses Kreises findet man die Gleichung
18) COS g, = sin 79 sin Y, = cos (90° — zo) - sing.
Demnach ist der sphärische Radius o, größer als der Polabstand 90° — %%
des sphärischen Mittelpunktes, der Pol liegt innerhalb dieses Kreises.
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Bildet man den Ausdruck (A) der oben in Gleichung (5) nicht an-
1
geschrieben worden ist, setzt in ihn die soeben gefundenen Bedingungen der
Berührung zweiter Ordnung ein und setzt dann die Faktoren von (@ — @i)* in
(4) und (5) einander gleich, so kommt
sec? a sec? g, = 0,
eine Bedingung, die sich durch reelle Werte nicht erfüllen läßt. Das heißt, daß
eine vierpunktige Berührung zwischen Loxodrome und Kugelkreis nicht
möglich ist.
Faßt man den Punkt (q%,, 40) als Gestirnsbild, den Nebenkreis als eine dazu-
gehörige Höhengleiche, die Loxodrome als astronomische Standlinie auf, so 1äßt
sich das soeben abgeleitete Ergebnis so aussprechen:
Steht ein Gestirn im Sechsuhrkreis, so haben die aus seiner Höhe ab-
geleitete astronomische Standlinie und die zugehörige Höhengleiche eine
Berührung zweiter Ordnung (dreipunktig). In der Merkatorkarte ist
die Standlinie Wendetangente der Höhengleiche.
Jl. Aus der Tatsache der dreipunktigen Berührung entspringt die Ver-
mutung, daß der ausgezeichnete Nebenkreis der Krümmungskreis der Loxodrome
und der reziproke Wert seines linearen Radius ihre tangentiale Krümmung im
Punkte (g,, /;) ist. In der Tat ist .
Gleichung der Kugel um den Koordinatenanfangspunkt mit dem Radius 17
und den Parametern u = @ und v=
X=Tg‘CO8SU-:COSV,
y= Fo) Cosu-sinv,
Z= Fa-ßSinu.
