58 Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, März 1942,
Diese Gleichung wird in Real- und Imaginärteil zerlegt und für die beiden Funk
tionen folgen die Beziehungen
u, = Zu oder u = e** und
& „I .
A2 V— VW, + 2iiv, = 1 (Ay+ iv),
48 Vi = iD (Avmiw))-
Die Differenz dieser beiden Gleichungen wird nochmals nach y differentiiert
{fr {” £ f
und FU > K und Ft =9 gesetzt, dann folgt in Verbindung mit den
beiden Gleichungen (9) die Determinante
2ii-—+ £ r
iA
4ii1+ JS, J—121K, —iK
Da das zur Determinante D gehörige Gleichungssystem homogen ist, muß D=0
sein. Andererseits ist diese Determinante eine Gleichung dritten Grades in 2,
d. h. aber, daß h höchstens aus drei Produkten der Form u (x) - v (y) zusammen-
gesetzt sein kann. Wenn tatsächlich.drei verschiedene Wurzeln 2, die von y unab-
hängig sind, vorhanden sind, dann sind auch die symmetrischen Funktionen
dieser Wurzeln und damit, wie durch leichte Rechnung folgt, S- von y unab-
hängig. Dieses Ergebnis wird gleich weiter verwendet werden. Zunächst folgt
durch zweimalige Integration der Gleichung (9)
(10) f= A'v(y) eV AB oder v=(Af-+B)el?Y.
Wenn jetzt von y unabhängig ist, dann ist f im wesentlichen eine Expo-
nentialfunktion, und durch einfache Überlegung ergibt sich, daß v konstant ist.
Die zugehörige Tiefenverteilung h ergibt sich auch in diesem Fall aus Gleichung (7).
Damit ist gezeigt, daß keine Lösung h vorhanden ist, die aus einer Summe von
mehr als zwei Produkten besteht. Durch die nun folgende Überlegung wird
gezeigt, daß h nur aus einem Produkt besteht und somit Gleichung (7) sämtliche
Lösungen h zur Darstellung bringt. Entsprechend dem bisher Bewiesenen wird
jetzt angenommen, daß h folgende Form besitzt:
h= vr te, Air.
Aus Gleichung (10), die sowohl für v, als auch für v, gelten muß, wird erhalten:
b= Ayfo*?2 4 Brett _ Ayfe? + B,oh? 40 oder
h=f£f-P(z) + Q(z) mit P= 4,0“? + A, e47% und Q=B,e*?+B, ht +0.
P und Q sind analytische Funktionen. In Gleichung (3) eingesetzt folgt:
G+Q6”=f(1—PG”).
Da f nicht konstant sein soll, muß sowohl G + Q G” = 0 als auch 1 — P G” = 0 sein.
Aus diesen beiden Gleichungen wird folgende Beziehung zwischen P und Q abgeleitet:
(11)
(9) +1
F=0,
die den Gleichungen (5) für h entspricht. Durch eine lineare Transformation
der Funktion f, die die Allgemeinheit nicht einschränkt, können P und Q auf
die Gestalt P=— e*-+ aje**, Q = a, e7-+- a, gebracht werden,
Gleichung (11) lautet nach der Transformation:
Q nr N
(3) + S 0.
Werden für P und Q obige Werte in diese Gleichung eingesetzt, So ergibt sich
nach zweimaliger Differentiation
SELF DZ. aa (1— At — 37. apa, U— 22 + 7024 ar) +
LFD ai — 42 -L 209) -8n -L 0212 La ia =0.
