Egersdörfer, L.: Die Methode der Gruppenbildung in der harmonischen Analyse. 991
von m, Werten der u, deren unterer Zeiger die Gestalt hat:
(78 b) Ganz in Open a—nı tt 040 + OyTa%r + Got, Zu + To,
während die Gruppen selbst die Bezeichnung
{78c) Ran (Foo Pr Para Ta)
führen. In (78b) gilt:
= 0,1,2...5 8 — 15 da =0,1,2,...5 m,— 1.
Die zı müssen nach (67) bzw. (68) gesondert berechnet werden. Lediglich
die letzten Gruppen mit m, = x%n Werten der u gehorchen nicht mehr der
Forderung der Teilerfremdheit, Für sie kommen also nur entweder Berech-
nungen nach dem Schema der üblichen harmonischen Analyse nach Stumpff
(einfache Berechnung oder Faltung) oder weitere Gruppenzerlegungen nach den
Potenzen der y,, aber mit nicht teilerfremder Zerlegung in Betracht.
Da die Winkelargumente in allen vorkommenden Fällen der ersten bis ein-
schließlich der letzten Zerlegung von der Form 2 x Zg, sind, wo I’ ein gewisses,
hier nicht näher anzugebendes Produkt ganzer Zahlen ist, würde es grundsätz-
lich genügen, für Zwecke der harmonischen Analyse ein Archiv von Tafeln zur
einfachen Ausrechnung (Pollak) bzw. zur Faltung (Stumpff) anzulegen, das
nur auf den Zahlen g,, also den Primzahlen und ihren Potenzen aufgebaut ist.
Man kann sich die endgültige Gruppierung der u mit dem Zeiger nach (78b)
als eine Matrix von G,_.1 Zeilen und m, Spalten vorstellen und hat nun die Auf-
gabe, aus dieser Matrix rückwärts die p,, q, zu berechnen, die den u, entsprechen,
Die Gewinnung der p,, q,, wobei der Kürze halber im folgenden immer nur
die Größe p, erwähnt wird, beginnt mit der Gewinnung der zu den zuletzt an-
gegebenen Gruppen gehörigen p.
Da eine solche Gruppe gerade durch die Elemente einer Zeile in der
Matrix dargestellt wird, liefert jede einzelne Zeile dieser Matrix bei Anwendung
der harmonischen Analyse die m, Ergebnisse
(79a) pa)
mit = 012... ha = 4m, —1)
und (R,_1) nach (780).
Stellt man die Ergebnisse (79a) aller G„_, Zeilen zu einer Matrix zusammen, so
kann man darin die Spalten nach x, und die Zeilen nach dem oberen Zeiger Rıı
ordnen, und zwar so, daß alle Kombinationen R._ı mit dem gemeinsamen Bestandteil
(78d) Rue (Pos Tas Tas» «us A)
zusammengefaßt und nach r...ı geordnet werden. Da es für r.—; die gn_.1 Mög-
lichkeiten 0, 1, 2,..., g,_,— 1 gibt, also
(78e) Raı= (Bangi Fan—ı)
ist, zerfällt die Matrix nach (79a) in G,_, Matrizes von g, _ , Zeilen, wobei nach (78a)
(78) Gag = Op Sn—ıt
Dem allen Elementen einer solchen Matrix gemeinsamen Kennzeichen Ra_.z stehen
Jie Laufbuchstaben x, und r._., für Spalte und Zeile gegenüber und entsprechen
damit genau den früheren Laufbuchstaben x und r in p®,
Die Anwendung der Gruppenmethode nach 8 8, Fall a) auf jede einzelne
Teilmatrix (78d) liefert nach
{80) Kg OR Mk mit nz = 21
die Größen Op = 0 00 fans
(81a) pen),
Die Matrix der Größen (81a) hat sich gegenüber der Matrix (79a) so verändert,
daß ihre Zeilenanzahl geringer [nach (78e) Gn._2 << Gn_ 1], ihre Spaltenanzahl größer
{nach (80) kı_ı > xn] geworden ist.
