Egersdörfer, L.: Die Methode der Gruppenbildung in der harmonischen Analyse. 287
sin berechnen muß. Man kann diese Rechnung vermeiden unter der Voraus-
setzung, daß g und m teilerfremd sind, Für die Fallunterscheidungen des $ 3
bedeutet dies, daß der Fall 0): g=2f,, m=2h, von nun an vollkommen
ausscheidet.
Unter den Zeigern der Gruppe (1), welche die Form ZA-+4 1 besitzen, läßt
sich nämlich immer ein Ä= x 80 finden, daß
(67) z=gr 4-4 1=yrm,
also z durch m teilbar ist, Schreibt man diese Beziehung in der Form
{68) ym—gıä=1,
so ist dies nach einem bekannten zahlentheoretischen Satz nur der Ausdruck
dafür, daß g und m teilerfremd sind. Zugleich ist stets
u<m, Y<g.
Z.B. ist bei g= 5, m= 17, in der Zahlenreihe 5 2 4-1 für u = 10 und y=4
(67a) ‘ z=51=10-541=3-17.
Aus (68) erhält man allgemein für die Gruppe (r) den Anfangswert:
(69) Pz=Poy Mg = {14 qeeg)
und den laufenden Wert, der an die Stelle von gA-+-r tritt, nach (69)
(70) Ag tr z= legte uer gsglit ur) Ir.
Die rechte Seite von (70) zeigt, daß nach wie vor Ääg+rz in bezug auf g den
Rest r ergibt, also wirklich in die Gruppe (r) gehört, während der bisherige
Laufbuchstabe £ eigentlich durch Ä'=%-| ur ersetzt werden sollte, Behält man
für die Rechnung 4 als Laufbuchstaben bei, 80 tritt an Stelle von r der Wert rz.
Die frühere Matrix u,,+, wird jetzt zur
Matrix Upn ıpz
Uıg
Yagız
Uagieg
Uagarız
Mag 2 a4 (g— DE Yagı @-1)m Magt(g— De
Dementsprechend lautet jetzt das System B';
(la 8%) PS ZA
(Ib B%9) m ag = 0.
(ITa B’) m Lg pee C0S rim /m,
{Ib B‘) ms DA pr in 2mim/mn,
{Is B‘) pe El) Day are
(IILb B’) m q=0,
Aus dem Vergleich der Indizes ig +r und Ag +rz geht hervor, daß mittels
Ersetzung des Buchstabens r durch
(70) Yoarzsrıym=yrm
Alle bisher erhaltenen Ergebnisse einfach umgeschrieben werden können. Diese
Abänderung der auftretenden Winkelargumente ergibt an Stelle von
(72a) Zuxr{N 2axrefN = am yım/N = 2ayunlg.
(72 b) arg ZYMIg
(726) Zunorig 2roymyg.
(72d) arg ZymSr/g,
Da nun nach (68) ym = 1 (mod g), so verwandeln sich die Werte der rechten
Seite von (72b, co, d) beim Einsetzen in die cos- bzw. sin-Funktion wieder in die
rechts stehenden Werte zurück, Mit (72a) ist außerdem der erstgenannte Zweck
der Einführung von rz an Stelle von r, nämlich die Ersetzung von N durch g
im Nenner des Arguments erreicht.
