Hansen, W,: Ein Verfahren zur Berechnung der eintägigen Tiden. 45
der Voraussetzung entsprechend als bekannt angesehen, Für die von © um-
schlossenen Gitterpunkte wird je eine Differenzengleichung (7) aufgestellt, so daß
ein System linearer Gleichungen erhalten wird, das ebenso viele Gleichungen wie
Dnbekannte, d.h, Gitterpunkte besitzt. Die in den Gleichungen auftretenden
Randwerte machen das System zu einem inhomogenen,
Dieses Gleichungssystem kann nun entweder unmittelbar oder durch ein
Verfahren wiederholter Ausgleichung gelöst werden, Das unmittelbare Verfahren
erfordert zwar eine nicht unerhebliche Rechenarbeit, liefert dafür aber auch für
jeden A-Wert die Lösung. Das Näherungsverfahren liefert wesentlich rascher die
Lösung, ist aber nur dann anwendbar, wenn 2<0 ist. Das zuerst genannte
anmittelbare Verfahren läßt sich also für die Berechnung aller Tiden auf der
ganzen Erde verwenden, das zweitgenannte dagegen nur für die langperiodischen
und die ein- und halbtägigen Tiden in den oben genannten Gebieten.
- Für die Durchführung des Verfahrens muß zunächst eine Einteilung der
Gitterpunkte in einzelne Streckenzüge S, vorgenommen werden, Der Strecken-
zug © des Randes wurde bereits definiert. Diejenigen inneren Gitterpunkte, deren
Entfernung von den Randpunkten des Gitters, die den Streckenzug S festlegen,
gleich 1 ist, werden in ihrer Gesamtheit mit S, bezeichnet und bilden wiederum
einen Streckenzug. Diejenigen der übrigbleibenden Gitterpunkte, die von den
Punkten aus ©, die Entfernung 1 besitzen, werden mit ©, bezeichnet und geben
einen weiteren Streckenzug ab. In entsprechender Weise werden die Strecken-
züge S,, CS, usw. festgelegt. Allgemein kann gesagt werden, daß jeder Punkt
von Sa4+ı VON mindestens einem Punkt aus S, die Entfernung | besitzt, oder
wenn Punkte, die eine Entfernung | voneinander besitzen, als benachbart be-
zeichnet werden, gilt: Jeder Punkt von S,41 besitzt mindestens einen Nachbar-
punkt aus S,. Durch diese Einteilung wird jeder Gitterpunkt einem Strecken-
zug zugeordnet, und zwar in der Weise, daß Punkte, die nicht aufeinanderfolgenden
Streckenzügen angehören, auch nicht benachbart sein können, so daß die Gitter-
punkte durch die Streckenzüge in eine bestimmte Reihenfolge gebracht werden,
Die Funktionswerte in S sind als bekannt vorausgesetzt, für alle inneren
Gitterpunkte werden zunächst rohe Näherungswerte eingesetzt, Jetzt werden
zuerst sämtliche Näherungswerte von S, verbessert; das geschieht in der Weise,
daß die für jeden Punkt von S, aufzustellende Differenzengleichung gelöst wird.
Definitionsgemäß ist mindestens einer der vier Nachbarpunkte aus ©, liefert
also den endgültigen Funktionswert; für die Werte in den anderen Punkten
werden die Näherungswerte eingesetzt. In der gleichen Weise werden die Werte
von S, berechnet, wobei zweckmäßig die bereits verbesserten Werte von &,
benutzt werden; daran anschließend werden die Werte von S,, S, usw. ermittelt,
Sind nach diesem Verfahren alle Werte in den inneren Gitterpunkten verbessert,
so kann die Berechnung wiederholt werden, und zwar so oft, bis die Werte
in den inneren Gitterpunkten innerhalb des gewünschten Genauigkeitsgrades
konstant bleiben. Es ist nun zu zeigen, daß das geschilderte Verfahren kon-
vergiert, d.h. daß das Verfahren endlich Werte liefert, die durch weitere
Wiederholung der Rechnung nicht mehr geändert werden oder die das oben
genannte System linearer Gleichungen lösen. Es genügt zu beweisen, daß eine
Werteverteilung, die in den inneren ÖCitterpunkten irgendwelche Werte besitzt,
deren Betrag kleiner als M ist, durch die Anwendung des Verfahrens gegen die
identisch verschwindende Lösung konvergiert, wenn die Randwerte Null sind;
and zwar folgt das aus der oben gezeigten Eindeutigkeit für negative 2, die auch
für das lineare Gleichungssystem gilt. Der Voraussetzung entsprechend sind alle
Werte aus S gleich Null, alle Nachbarwerte der Punkte aus S, kleiner als M,
zo daß aus Gleichung (7) die Abschätzung erhalten wird;
W< I @=2B,
wenn mit W, irgendeiner der Werte aus ©, bezeichnet wird. Für die Werte W,
aus ©& gilt:
w< (an) +)
