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Amalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, Februar 1940,
Diese Gleichungen lassen. sich noch auf zwei Arten umformen:
BA 2
zn ma Sr > {k ir 5 + ik SL — ZZ IL Dawn b I „J = x
2 A wo . . ‚8 .
U A
Bm CE Ü ” , Be
PN EA bay by al = 0
8 dt _ ;
ta AS Ds Ca Dy Bag Zn De ey] 0.
In den Gleichungen (4) bedeutet 4 = + Sr den Laplaceschen Öperator,
Die Gleichungen (4) stellen ein System elliptischer Differentialgleichungen
mit zwei unbekannten Funktionen dar. Über die allgemeinen Lösungen solcher
Systeme scheint noch sehr wenig bekannt zu sein; dagegen läßt sich das unten
angegebene Lösungsverfahren ohne Schwierigkeiten auf die Gleichungen (4)
anwenden, selbst dann, wenn in den Gleichungen (4) ein Reibungsansatz Berück-
sichtigung findet. Es soll aber zur Erhöhung der Übersichtlichkeit und zur
Vereinfachung vorausgesetzt werden, daß in {4} die Produkte der ersten Ablei-
tungen von h mit £, und £, vernachlässigt werden können, Dann folgt aus (4):
AG+it=0, At il=0, aA
oder wenn &, und & zu 5 zusammengefaßt werden;
@) At t+Äät=0.
Dieses ist die bereits in der oben genannten Arbeit abgeleitete Differential-
gleichung der schwingenden Membran, wie sie in der Physik genannt wird; sie
hat eine umfassende und vollständige theoretische Untersuchung insbesondere
mit den Hilfemitteln der Integralgleichungen und der Variationsrechnung erfahren.
Diese theoretischen Untersuchungen erstrecken. sich auf die Bestimmung derjenigen
Ä-Werte, für die Lösungen von (5) mit homogenen Randbedingungen vorhanden
sind. Bei Berechnung der eintägigen Tiden außerhalb des äqwatorialen Gürtels
von 30° Nord bis 80° Süd. treten nur A-Werte auf, für die solche ausgezeichneten
Lösungen mit homogenen Randwerten nicht existieren, wie nun gezeigt werden soll.
Das zu untersuchende Meeresgebiet werde mit © bezeichnet und die Begren-
zung dieses Gebietes, also die Küsten- und Trennungslinien gegen angrenzende
Meere, werde mit © bezeichnet. Es wird vorausgesetzt, daß Amplitude und Phase
und somit die Funktionen £, und &, der eintägigen Tide auf der Kurve € bekannt
sind. Im Innern des Gebietes ® erfüllen & und & oder £ die Gleichung (5).
Es wird sich zeigen, daß diese beiden Bedingungen genügen, um die Werte 5 im
Innern von © zu berechnen, Die oben angegebene Frage nach ausgezeichneten
Lösungen mit homogenen Randwerten ist gleichbedeutend mit der Frage nach
der Eindeutigkeit der Lösung. Gibt es nämlich eine Lösung der Gleichung (5),
Ädie am. Rande verschwindet, im Innern von ® aber ungleich Null ist, so kann
ein beliebiges Vielfaches einer solchen Lösung zu jeder Lösung mit vorgeschriebenen
Randwerten hinzugefügt werden, ohne daß die Randwerte geändert würden. Die
Lösung wäre also nicht eindeutig. ‚Aus dem Gaußschen Satz!) folgt die Gleichung
[fe AO G,Fdı Gr far
? ;
(und F sind bis zur zweiten Ableitung‘ stetig differentiierbare, aber sonst
willkürliche Funktionen. Das Flächenintegral ist über den gesamten Bereich ®
und das rechts stehende Integral über die Randkurve € zu erstrecken; 3 be-
deutet die Ableitung in Richtung der inneren Normale, Wird jetzt G==F gesetzt,
so folgt aus der Integralbeziehung:
Pin . nn A OF
(6) [fear Eddy — frz 0e
Sn /
Hy 7el. Riemann-Weber: Differentlalgleichungen der Physik.
