Müller, H,: Über die Behandlung von Mittelwerten usw. von geringem Umfang. 419 
rechnen nun die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sämtliche x; in einem vor- 
gegebenen Intervall der Form (x;, x; + dx;) liegen (i= 1,2, ...»m. 
Dieses W ist gleich: 
La 
Wie = ATZE &... de, 
Voraussetzung dafür ist nur die Unabhängigkeit der x;-Werte. Nun ist der 
unbekannte Wert x* zu bestimmen. Dieser empirische Wert sei a. Die Bedingung 
nun, daß a den wahrscheinlichen Wert darstellt, ist die, daß W (&,, &...&) zum 
Maximum wird, Dies ist der Fall, wenn der Exponent ein Minimum hat, also: 
N N 
35] Min. oder X(x;— a)? ! Min. Ich differenziere nach a und setze gleich 0 
am 1 i= 1 
x, 
2E(x,—a)=0 oder Js, =N-a di, as 8. 
Dieser Ausdruck ist nun das arithmetische Mittel, w. z. b. w. 
Dieser Wert nähert sich dem Wert für x® unbegrenzt nach dem Gesetz der 
großen Zahl, wenn also N stark anwächst. Dies läßt sich auch auf folgende 
Art beweisen. Wir gehen von folgenden Gleichsetzungen aus: 
mi Six -— x9)2 
(N 
und ; 
(2) (5 — x = mi Zn. 
Diese letzte Gleichung hat nur einen Sinn, wenn m}, bestimmbar ist. Ist das 
nicht der Fall, so läßt es sich mit dieser Gleichung bestimmen. Für das arithme- 
tische Mittel habe ich nur eine Beobachtung, eben das Mittel selbst daher ergibt 
sich aus der ersten Gleichung für n= 1 (x — x? — m;, da nun X= X ist, so 
ist (Xx— x%? = mi. Weiter benutzen wir folgende Identität: 
S(x— x0* = Six—) +n (x — x), 
Setzen wir hierin die Gleichungen 1 und 2 ein, so folgt: 
nm. => 8(x— 5)! ++ m, oder m*%(x) nA ed. 
Sind nun die Ausdrücke m} und m‘*(x) gleich, so ist x==x°. Dies wird nun 
erreicht, wenn n sehr groß ist, dann ist % mit beliebiger Genauigkeit gleich x®, 
Dies war zu zeigen. 
Sind nun zwei solche Reihen vorhanden, also x, und yı (i==1,2,...n), so 
Jäßt sich ein Vergleich ihrer wahrscheinlichen Werte x° und y® leicht anstellen, 
wenn n beliebig groß ist. Denn dann ist ein einfacher Vergleich der beiden 
arithmetischen Mittel zu bewerkstelligen. 
Ein solcher Vergleich ist nun oft sehr notwendig. Besonders trifft das für 
die Meteorologie zu, wo wir fast dauernd einen Vergleich von Mittelwerten an- 
stellen, um z, B. einen Unterschied zweier oder mehrerer Gegenden betr. Nieder- 
schlagsmenge oder ähnliches herauszustellen und zu beweisen. Dies geht einfach 
mit Hilfe der Mittelwerte nur, wenn die Reihe der Beobachtungswerte genügend 
lang ist, so daß die Differenz der beiden Mittelwerte (x — 5) größer ist, als der 
Wert, der sich für die Summe der mittleren Fehler der beiden arithmetischen 
Mittel ergibt: Can + Sn denn diese Summe wird beliebig klein bei großem n}). 
n n 
1) Oder aber (5 — $) muß größer sein als 0 (mittlerer Fehler der Differenz). Dies 
n 
Kriterium ist aber nicht so scharf, da bei einer positiven Korrelation der beiden Reihen, die fast 
immer vorhanden ist, das m kleiner ist als die oben gegebene Summe; denn es ist nach 
n 
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dem Fehlerfortpflanzungsgesetz: 3X + ML IR (x —y)="" CD, wobei R(x—y) die Rob- 
korrelation bedeutet, die hier positir ist,