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Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, April 1934.
Es bedeute allgemein /, bzw. /, die Länge des Fadens bei der Temperatur
x° bzw. y°. Dann ist nach (1) = 4 (14 8:x%), 4=4(1 + 8-y). Zur Berechnung
von & + y hat man zwei Möglichkeiten, erstens & +1, = 4(1+8:(x-+ y)) und weiter
k+ıy=h(1+8-x) (1 +8-y); daraus folgt 1-8: (x--y)=(1+ß8- x) (1+38-y),
was nicht richtig ist.
Es ist also für den vorliegenden Zweck eine Ausdehnungsformel erwünscht,
welche diesen Widerspruch vermeidet. Diese soll jetzt — unter der Annahme
eines konstanten Ausdehnungskoeffizienten — hergeleitet werden.
Gegeben sei ein Quecksilberfaden von der Länge Z bei der Temperatur t,°.
Er werde um t° erwärmt. Es soll jetzt die Länge jedesmal berechnet werden,
wenn die Temperatur um At= Grad (m eine ganze Zahl) zugenommen hat.
Dann gilt bei ty + 4t: kr +4t= 4,(1 +8 41). Wird die Temperatur aber-
mals um 4t Grad erhöht, so hat der Faden ja nicht mehr die Länge 4,, sondern
At also wird A, 2,t= 4, (1+ 841% Führt man dieses Verfahren weiter,
so folgt schließlich A,4+mıt= rt = de (1 + A)
Läßt man nun m —> co streben, so existiert lim (1 + A m
MM — CS
Also erhält man als neue Formel für die Ausdehnung
pe = 1.0 m ka .
Führt man jetzt mit Hilfe der Gleichung (7) dieselbe Berechnung durch,
die unter Benutzung der Gleichung (1) zu (2) bzw. (5) führte, so erhält man
in beiden Fällen übereinstimmend:
(+ De LAT ee GS)
‚Es soll aus dieser komplizierten Gleichung für C eine für die praktische
Bestimmung hinreichend genaue, aber doch handliche Formel abgeleitet werden.
Man setze wieder vo + T=n, T—t=r und für ee“ werde die Taylorsche
Reihe mit Restglied eingetragen. Das ergibt:
8C+0) , BC+O1) [BHO], Ta OT
u (1 A AA TED ‚e)=n 40 « (9)
& ist ein Zwischenwert, für den gilt: 0< &<ß(t + CC).
; 5 1a (80 ONFTT x
Man wird jetzt k so wählen, daß das Restglied ED! 16 SO klein wird,
daß man es vernachlässigen kann. Dies ist für k=2 der Fall, wenn man
wieder |n|<300, |r|<30, |C|=<1.6 voraussetzt, Man erhält |&|= In a
< 0.000008, Dann nimmt (9) die Gestalt an:
3 2 2 zZ
nßr+ngOh AA An paQ
zZ 2
Nun ist aber nA < 0.000011; wenn man auch dieses Glied vernachlässigt,
arg (14-24)
so erhält man für C = i=nß0 +89 + &, wo | &! < 0.000022,
Da diese Formel für die praktische Rechnung noch etwas unhandlich ist,
sei folgende, in einfacher Analogie zu Gleichung (6) aufgestellte Beziehung als
Berichtigungsformel vorgeschlagen:
= Buzz — nz
5 =
tn 3) 7 (n+3)
Die Differenz zwischen den aus Gleichung (9) und (10) berechneten Werten
von C ist dann höchstens 0.000022 + 0.00022 == 0.00024.
Mit Hilfe von Gleichung (7) soll auch noch die entsprechende Formel für
das ungeschützte Kippthermometer abgeleitet werden. Es bedeuten Zw die
wahre Einstellung des Thermometers in der Tiefe, Ty= T + C die Temperatur
