344 Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, August/September 1933,
Zu diesem Zwecke betrachten wir eine inkompressible Flüssigkeit. Die mit
der Luftdichte @ multiplizierten Bewegungsgleichungen haben die Form}!):
du z ]
Or Spur eX—
dv
— = ® —
gr ui aY—
dw €
DW net a.
Gar SP w+02 Br
dp
€»
Hierbei ist u der Koeffizient der inneren Reibung; u, v und w sind die
Komponenten der Geschwindigkeit in der x-, y- und z-Richtung. Die Komponenten
der äußeren Kraft in bezug auf die verschiedenen Koordinatenachsen sind mit
X, Y und Z bezeichnet.
Für die weitere Behandlung ersetzen wir die substantielle Beschleunigung
durch die lokale: 5
d Ö Ö d
dt“ a tx Hay an
Nehmen wir außerdem an, daß die äußeren Kräfte X, Y und Z ein Potential ©
besitzen?), so schreiben sich die Bewegungsgleichungen in der entwickelten Form:
du du du du 2 dS dp
er ze az ON zz ax
dr Öv dr dry dS dp
—— — = Z— ——_ BY m DL m
A A
dw dw dw Öw dS 8
8 5E t OU SEEN Sy HOW zZ a
Dieses Gleichungssystem reduziert sich auf eine Gleichung, wenn wir
zwei Indizes i und k (i, k = 1, 2, 3) einführen. Der Index i soll zur Unter-
scheidung der einzelnen Komponenten dienen, während k ein reiner Summations-
index ist. k vertritt gewissermaßen das Summenzeichen, da bei jedem Wert
von i über den Index k von 1 bis 3 zu summieren ist,
Die Glieder, die die innere Reibung angeben, schreiben wir explizit nicht
in der üblichen Form:
du , du , du
20 — En a
nr ui + d0y® + am)-
sondern ersetzen diese durch einen anderen Ausdruck, Es soll dabei im wesent-
lichen von den neueren Ergebnissen Ertels*®*) Gebrauch gemacht werden, wonach
im allgemeinen der Turbulenzzustand nicht durch eine skalare Funktion, sondern
durch einen Tensor charakterisiert wird. Dieser Tensor, der „Turbulenztensor“,
ist durch die folgende Gleichung definiert:
Ov,
v Tıx = 7x Tz, ,
Yıx ist der „Austauschtensor“; er ist ein symmetrischer Tensor,
Unter Berücksichtigung des „Austauschtensors“ und der beiden Indizes i
und k erhalten wir an Stelle der Bewegungsgleichungen in der entwickelten
Form die Gleichung:
Sy vor dv, 3 dv; 36 dp
5 ne kr Ox UK S x x 7
dv, a dv, d® dp
CE le) ae
Dem Gültigkeitsbereich dieser Formel ist allerdings insofern eine Grenze
gesetzt, als darin das Glied mit dem Coriolis-Axiator fehlt. Diese Gleichung
1) F. M. Exner: Dynam., Meteorol,, 2, Aufl, S. 32. — %) V. Bjerknes: Hydrodynam. Gleichungen
in Lagrangescher u, Eulerscher Form u. ihre Linearisierung für das Studium kleiner Störungen. Geofys.
Publ. Vol. V, Nr. 11. — °%) H, Ertel: Allgemeine Theorie der Turbulenzreibung und des „Aus-
tausches‘“. Sitz.-Ber. d. Preuß. Akademie d. Wiss, Math. Kl. 1932, XXVI.
