Fulst: Methoden zur Berechnung der Höhe eines Gestirns.
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also genau so grofs, wie wir vorher annäherungsweise den Fehler gefunden
haben, wenn x um 0,5’ fehlerhaft ist.
Auch hier würde man gut thun, die Breite um 1‘ zu verändern, um einen
Fehler in A zu vermeiden.
Nur scheinbar verschieden von dieser Methode (s. Breusing: „Kleine
Steuermannskunst“, Bremen 1852) ist die Raper’sche, die die Höhe durch die
beiden Gleichungen
sem & = cos @ cos d sem 1 (‘ = 12%“ — t)
sem Z = cos 3+E m ei}
bestimmt. Man erhält diese Gleichungen aus den obigen, wenn man cos? t/2 ==
sem t‘ und 2x = &£ setzt. Die Rechnung wird hierdurch etwas bequemer; wenn
man Tafeln besitzt, die den log sem für Winkel in Bogenmafs enthalten. Unter
diesen Umständen sind auch die Fehler nur halb so grofs, wie oben angegeben,
da jetzt nicht x, sondern nur &% um 0,5‘ fehlerhaft sein kann. Fünfstellige
Logarithmen sind auch hier erforderlich.
10. -— Addirt man die beiden Seiten der Gleichung (A) zu 1, so erhält man
cos? z/2 = co L 9 — cos cos d semt.........(E)
cos? 2/2 = wos? LS 5 Ü (1 — cos p cos d sec? L—1 Y $ gom t)
und wenn man hierin
. —d
8in X = 8e0 —— Vcos ep cos d sem t
vl
yo
— dd
cos Z/2 = COß Pr cos X
Diese Formel, die sich z. B. in Riddle’s „Treatise on Navigation“ (1842)
findet, ist so schlecht gewählt wie möglich. Da_ hier z/2 durch den Cosinus
bestimmt wird, dieser sich aber gerade für kleine Winkel sehr langsam ändert,
so bedeutet diese Formel eine entschiedene Verschlechterung denjenigen gegen-
über, welche die Höhe direkt durch den Sinus bestimmen.
Durch logarithmische Differentiation der letzten Gleichung erhält man als
Fehler in der Höhe .
dh = — 2 cot z/2 tg x dx
Da 2/2 => x ist, so ist auch cot z/2 tg x < 1 und somit
dh < 2 dx.
Auch dann, wenn man + auf ganze Minuten abrundet, ist der Fehler
in der Höhe nur gering. Einem Fehler von 0,5‘ in Ba entspricht nämlich
in x ein Fehler
—d 4
dx = 18 —z— tg x- 05
und somit in h
dh = — 2 cot ?/2 tg p—9 tg? x + 0,5' + 2 cot z/2 tg = «05
dh = — cot z/2 tg =? sec? x Minuten
und da cos x = COS %/2 sec ge? ist, nach einigen Umformungen
dh = ein (p — 9) Minuten
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alacı
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