Ortsbestimmung aus beliebig vielen Höhen,
Dreiecks die Eigeuschaft zukommt, dafs die Summe der Quadrate seiner Ent-
fernungen von den drei Eeken des Dreiecks ein Minimum ist.) ;
Schon vor einer längeren Reihe von Jahren, als an die gegenwärtige
praktische Anwendung des gesuchten Punktes noch nicht gedacht wurde, stellte
ein Deutscher Mathematiker, Dr. Grebe®) in Kassel, ausführliche und sehr
beachtenswerthe Untersuchungen über diesen merkwürdigen Punkt des Dreiecks
an, wo er nicht nur eine leichte Konstruktion desselben gab, sondern auch die
elliptischen Figaren jener Punktreihen hinzufügte, welche unter sich gleiche
Wahrscheinlichkeit besitzen, für den gesuchten Punkt genommen zu werden,
indem für sie die Summe der Quadrate der Abstände von den drei Seiten
gleiche Werthe liefern, ohne natürlich das Minimum zu erreichen. Man hat
sich dieser schönen analytisch-geometrischen Untersuchungen später wieder
erinnert und vorgeschlagen, jenen unleugbar merkwürdigen eines Dreiecks
als den „Grebe’schen Punkt“ desselben zu benennen.®) Seine Konstruktion ist
hier eigentlich schon durch die allgemeine Auflösung der Aufgabe angezeigt,
denn wenn man nach der Bestimmung des wahrscheinlichaten Punktes P, durch
Substitution in die Bedingungsgleichungen (1), die Unterschiede als übrig-
bleibende Fehler berechnet, so sind dies die gesuchten Abstände des Punktes P
ron den drei Seiten. Offenbar genügen schon zwei solche Abstände, in welchen
parallele Linien mit den entsprechenden Seiten des Dreiecks gezogen werden,
um P als Schnittpunkt zu erhalten. Indessen ist doch die Eigenschaft dieses
Punktes, welche Grebe und Villarceaun sofort erkannten, hier das Wichtigste,
dafg nämlich seine Abstände von den drei Seiten des Dreiecks immer diesen
Seiten selbst proportional sind.
Es seien nämlich x, y, z die drei senkrechten Abstände eines beliebigen
Punktes von den drei Seiten eines Dreiecks, so dafs immer:
ax + by eı — ZF,
wenn F die Fläche und s, b, 6 die drei entsprechenden Seitenlängen des Drei-
ccks bedeuten. Soll nun
xy! 4} 4 — min.
werden, so hat man die Gleichungen
u = x! yl+4 L(@F —ax— by)
da 2
ax = 0= 2x — 3 (2F — ax — by)a
oder 0 = dx — (2F — ax — by)a
= 0=2y— CF — ax —by)b
oder 0 = ey — (2F — ax — by)b
also x:y = a:b und überhaupt x:y:z == a:b:ce. Diese kurze Beweisform
ist wenigstens für Dreiecke noch stattlhaft, wenn sie auch keine Ausdehnung
auf mehrseitige Figuren zuläfst. Einen anderen längeren Beweis für Dreiecke
giebt Villarceau (pag. 58 1. e.).
Man könnte nun für die Konstruktion des Punktes P im Dreiecke ent-
weder die Dreiecksseiten selbst benutzen zur Zeichnung von Quadraten über
den Seiten oder proportionale Theile der Seiten zur Konstruktion von Recht-
acken: immer werden die Schnittpunkte der verlängerten Seiten dieser Figuren
ein neues Dreieck geben, welches dem ursprünglichen ähnlich ist, und die Ver-
bindungslinien je zweier entsprechenden Scheitel beider Dreiecke müssen durch
7) Eine andere bemerkenswerthe Eigenschaft des Schwerpunktes eines Dreiecks: „Von allen
Punkten im Innern eines Dreiecks hat der Schwerpunkt das gröfste Produkt der Kutfernungen von
den Seiten“, wurde neuerdings von Dr. K. Dörholt in einer Dissertation nachgewiesen (Journ. f. d.
seine u. angew. Mathem., herausgeg. v. Kronecker u, Weierstrass, Bd, 97, pag. 56); doch findet sich
die Aufgabe, welche zu demselben Resultate führt, auch schon behandelt in E, Külp’s Differential-
rechnung, Darmstadt 1854, pag. 141.
© Archiv d. Mathem. u. Physik, Th. 9, Greifswald 1847, pag. 2560. Als Beispiel zum
Minimum ohne Rücksicht auf die geom, Bedeutung auch bereits von Grunert erläutert in dessen
Suppl. zu Klügel's Mathem. Wörterb., Th. 2, 1836, pag. 741.
% Ueber den Grebe’schen Punkt. Von E, Hain, im Archiv d. Mathem. u. Physik, Th. 58,
Leipzig 1876, pay. 84.
