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5. Die geometrische Bedeutung der drei Hilfswiukel ergiebt sich auf
folgende Weise:
Iu dieser Figur sei P der Pol,
Z das Zenith, S' der Stand der
Sonne bei der zweiten Beobach
tung; PX sei der Deklinations
kreis, welcher den Stundenwinkel
zwischen beiden Sonnenständen
halbirt, also S'PX — — und
ZPX — —;g . Aus Z und S'
seien die sphärischen Lothe ZU
und S'V auf PX gefällt.
Nach der Definition ist:
h—h'
h-fh'
sin tyl
sin —2— cos 9
, . t'—t
COS O Sin —g-
= cos cp sin ;
nach der Neper’sehen Regel gilt für das Dreieck PZU die Gleichung
• vrT •
sin ZU = cos <p sw —g— •
Demnach ist pi — ZU.
Der Winkol ipa wird definirt durch die Gleichung:
, tg d
cotg tp2 — - t ,_ t ;
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die Neper’sehe Regel giebt für das Dreieck PS'V
<308^= tg d . tg PV.
Der Vergleich beider Formeln läfst erkennen, dafs pa = PV.
Die Bedeutung des Ililfswinkels pa folgt aus der Gleichung:
im Dreieck PZU ist aber
. . _ , v sin ®
COS (pa + pa) = ■
\T rr J COS pl ’
sin (p — COS PU . COS pl.
Wir erhalten demnach pa ip pa — PU und mit Benutzung von pa — PV
den absolut genommenen Werth pa = UV.
Wird bei der Auflösung der Aufgabe ips von pa subtrahirt, so ergiebt
sich diejenige geographische Breite <p% für welche die Projektion U zwischen
P und V fällt. Wird pa zu \p% addirt, so erhält man die geographische Breite
<p", für welche V zwischen P und U liegt.
Da pa immer positiv, also pa — pa < pa + ipa ist, so folgt aus der
Gleichung sin <p — cos pi cos (tpi + pa), in welcher auch cos tpi positiv ist,
dafs der erste Werth <p‘ die nördlichere der beiden geographischen Breiten ist.
und
90°
ln dem Falle pa -f- ps <90° sind beide nördlich; im Falle ps — pa < 90°
pa + ps > 90° ist die erste nördlich, dio zweite südlich; im Falle pi — pa >
sind beide südlich.
Ist pi = 0 oder p$ = 0, so fallen beide Lösungen in eine einzige
zusammen. Die Bedingungsgleichung p2 = 0 ist nur dann erfüllt, wenn
. h—h' li-j-h'
t'_t sm —2 008 2~
= 90° ist. In diesem Falle mufs sin pi = g und cos Wa
9 T cosS
h—h' . h-f-h'
cos —2— sin —-g—
• J i sein. Aus der Gleichung sin <p — cos pi cos pa folgt dann
sin 0 oos ^ 1
