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3. Die vorige Untersuchung zeigt also, dafs die Douwes'soke Methode 
nicht allgemein anwendbar ist, dafs dio Entscheidung darüber, ob sie in einem 
bestimmten Fall zulässig ist, selbst wieder eine Rechnung erfordert, und 
endlich, dafs sie selbst dann, wenn sic angewendet werden darf, doch meistens 
nur eine langsame Annäherung ermöglicht. 
Die folgende direkte und strenge Auflösung führt durch Benutzung von 
drei Hilfswinkeln zu einer so einfachen Formel, dafs die Rechnung kaum mehr 
Zeitaufwand erfordert, wie eine einmalige Anwendung der Annäherungsmethode. 
Aus den Gleichungen: 
sin h — sin <p sin d + cos (f cos d cos t 
sin h' = sin cp sin d 4" cos 9 <308.d cos t' 
folgt zunächst durch Subtraktion und durch Addition: 
. h—h' k+k' . . t'—t . t'+t 
sm —Ti— cos —= cos (f> cos d sin —g— sin 
2 
. h+h' h—h' 
sm —2“ cos —g— 
2 
t'—t 
sin (f 3in d -j- COS (f COS d COS —g— cos 
t'4-t 
oder: 
. t'+t 
sm —~~ cos (fi 
cos 
t'+t 
cos <f = 
. h-h' h+h' 
sin —2~ 008 —2~ 
» • t'—t 
cos d sin —g— 
. h+h' h—k' 
sm — g - cos g - ■ 
sin (fi sin d 
cos d cos 
Durch Quadriren und nachherige Addition ergiebt sich: 
cos“ (f 
( 
h-h' b+li' 
sm —g— cos—g 
cos d sin 
t'—t 
)'*( 
h+h' h-h' 
sin cos — 
2 2 
sin d 
cos d cos- 
cos d cos 
t'-t 
Y 
sm (f I 
Setzt man zur Abkürzung: 
. h—h' h+h' 
sm —g— cos —g— 
. h+h' h-h' 
sin —g— cos —g— 
cos d sin 
t'—t 
COS d COS 
V—t 
c = 
sin d 
cos d cos 
t'—t’ 
so lautet die Gleichung: 
1 — sin®g> 
Sin® (f 
a 2 + b 2 
2bc 
2bc sin (/ + c 2 sin® (/>, oder: 
1+c’ 
sin (f 
also ist 
sin (f ■■ 
bc + l/b 2 c 2 + (1+e 8 ) (1- 
1—a 2 —b 2 
= 1+c 2 ’ 
-b 2 j _ bc±l/(l+c 2 ) (1—a 2 ) 
” 1 + c 2 
b 2 
1 + c 2 
Da dio Wurzel nur für a 2 < 1 reell ist, so ist die Substitution a — sin ijn 
erlaubt; wird noch c = cotg ipi gesetzt, so folgt: 
sin (p — sin (b cos ipi + ]/cos 2 xf/x — b 2 sin 2 ipt) 
= sin 1pi ^b COS lf>3 + cos if/i j/l — [~ C Qg‘^~] ^ ’ 
Wird jetzt noch — cos X P$ eingeführt, so ergiebt sich: 
sin (f — b sin Xpi COS + COS Xj/l sin rpi sin I//3 
= COS Ipl (cos tp2 COS xpi + sin lf>i sin XjJs) — COS Ipi COS (lj/2 + ips). 
Es ist hieraus zu erkennen, dafs zwei Werthe von <p existiren, welche 
den Bedingungen der Aufgabe entsprechen.