A. Wedemeyer: Winkeltreue Kartennetze in elementarer Behandlung
13
4*
Vergleicht man hiermit (6)
q 4 — 2 cot a cos 2d — 1=0,
so muß sein « 2 = cot«, a 4
r* =
cot 2 a — c
■i —.
1
cosec a.
a ist der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt, also a = ]/cota. Die Kurve hat die
Eigenschaft, daß das Produkt der Brennstrahlen nach einem Kurvenpunkt beständig ist,
daher q. 2 = c 2 = cosec «.
Der allgemeinen Gleichung kann man die Form geben
q 2 — a 2 + c 2 cos ©, also hier
q 2 = cot « + cosec a cos
mithin für den betrachteten Punkt auf dem Einheitskreis
sin a — cos « = | 2 sin (« — 45°) = cos ©,
wo 6 der von den beiden Brennstrahlen eingeschlossene Winkel ist, daher ist
cos 2 & — 1 — sin 2 «, sin 2 © = sin 2 a.
In unserm Fall ist es sehr leicht, die Tangenten in A an die Cassinische Linie zu ziehen
(Fig. 10). Denken wir uns über das vorliegende Netz ein stereographisches gelegt, so
müssen der Kreis über AA*, der den Hauptkreis abbildet, und die Cassinische Linie in A
dieselbe Tangente haben. Der
Mittelpunkt M des Kreises liegt
auf der Senkrechten in N zu NA;
MN = cot a, MA = cosec «
= Qi 4- MAN = 90° — a. Die
Senkrechte auf MA in A ist die
Tangente und MA die Normale.
Die Huygenschz Zeichnung der
Tangente in A muß dasselbe
Ergebnis liefern. Um in A,
einem Punkt der Kurve mit den
Brennpunkten F x und F 2 , die
Normale zu zeichnen, trage man
auf dem Brennstrahl AF 2 das
Stück AG 2 = AFj und auf AFi
das Stück AGi = AF 2 ab. Ist C
die vierte Ecke des Parallelo?
gramms mit den anstoßenden
Seiten AGi und AG 2 , so ist AC
die gesuchte Normale. Diese
Konstruktion hat zur Folge, daß
A F x AF 2 = A CGi A ist, da
4- CGi A = 180° — 4- Fi AF 2 und F x A • F 2 A
wenn J der Inhalt des Dreiecks ist,
Da 4- F 2 NA = # — 45° für X
tg NAF X — tang 7i
Fig. 10.
CGi • AGi — Q1Q2— cosec a.
Es ist ferner,
tg NAF 2 =
also
tang y 2
-V
= Ql Q z sin 6
* = y 2 cota.
so wird
cot a
:1 +
j / cot a
1
J
2 '
1/ 2
1 + ]/ 2 tang a
1+J
cot«
| / cot«
1
J
2 '
F 2
y 2 tang a— 1
1-J
tang CAN = tang (y 2 — y{) — cot a = 2 J 2
