30
Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte. fil. Bd. Nr. 4.
Anm. Die Ableitung Eckerts ist folgende (Pet. Mitt. 1900, S. DD ff.).
Auf rein geometrischem Wege gewinne ich zunächst das dritte Erdbildnetz, dem ich also als Umriß die Abb. 11 zugrundegelegt
habe. Ich ziehe durch die gleichweit entfernten Teilpunkte des Mittelmeridians die Breitenparallelen. Die zwischen dem Mit.tel-
meridian und den Kreisbogen liegenden Parallelen werden je in n gleichgroße Teile geteilt. Die gewonnenen Punkte werden durch
Kurven verbunden, die leicht zu konstruieren sind, da sie Ellipsen sind, wie im folgenden bewiesen wird. Zugleich läuft die Beweis
führung auch darauf hinaus, nachzuweisen, daß die Meridianstreifen des vorliegenden Erdkartennetzes den Meridianstreifen der
Kugel flächentreu sind.
loh nehme an, daß die Oberfläche der Erdkugel gleich der Fläche ABCDEF (Abb. ll)ist. Dabei wird « als Funktion vom Kugel
radius bestimmt und umgekehrt.
$* = ü(4 -±—> ; «=» K l,3265...
4 n
(Nun folgt bei Eckert der Beweis, daß die Meridianbilder wirklich Ellipsen sind, was bei unserer Herleitung Voraussetzung war.
Ferner wird noch bewiesen, daß die einzelnen Meridianstreifen untereinander und den entsprechenden Streifen der Kugel gleich
sind. Dieser Beweis ist für uns überflüssig, da wir den Satz von den in einem bestimmten Verhältnis geteilten Sehnen einer Kurve
und den entsprechenden Flächen an den Anfang unserer Betrachtungen gestellt haben.)
Es folgt nun die Herleitung der Hilfsgleichung für die Abstände der Parallelkreise heim flächentreuen Entwurf:
Die einzelnen Gürtel der Figur ABCDEF (Abb. 12) bzw. der 4. Projektion sollen gleich sein dem Inhalt der entsprechenden
Zonen der Kugel, deren Radius
R _ l/«* (* + Jl >
K 4ji
ist. Das erreicht man dadurch, daß man die vom Erdäquator und einem bestimmten Breitenkreis begrenzte Zone gleich der Zone
der Abbildung macht, die ebenfalls von dem Äquator einerseits und von dem entsprechenden Parallelkreis andererseits begrenzt
wird. Winkel <p bezeichnet die geogr. Breite, und durch Winkel l wird die Lage des Parallelkreises auf der Projektion bestimmt.
Gesucht wird die Relation von <p und t, die die Elächentreue der Zonen bedingt.
Kugelzone = Fläche der Projektion
a t
- (4 + ji) sin<p — (Kreissektor ♦ Ad f ■ M •/1 M ■ e ■ N) - 2
_/«*•»■< , a l N-c-ft a
^ V 360 + 2 + 2 )' “
+ n) sin <p = d* g (2 + cos t), und da l --- a sin t
= 360 + -g a sin t (2 -f cos t)
(4 + n) sin tp -= + 2 sin < (2 -f- cos t)
öl)
7t ■t
w
4- 4 sin t -f- 2 sin t cos t
n • t
= -p— 4- 4 sin t 4- sm 2 t
90
oder, wenn man die Winkel auf dem Bogen in Einheiten des Radius mißt, tritt statt g- (( -- 2 ein; folglich lautet die letzte Gleichung
(4 Hl- n) sin tp — 2 t -J- 4 sin t -f sin 2 i
Eine Tabelle der a (bei uns t) und tp mit korrigierten Werten von 1° zu 1° findet sich in Pet. Mitt. 1930, S. 237 in dem Aufsatz von
Bürger.
Wie bei der sinuslinigen Projektion von Winkel ist auch die Überlegung bei derWinkelschen Ellipsenprojektion
von dem allgemeinen Schema etwas abweichend. Wir hatten für Winkels Projektion gefunden
% +
-4 <p‘
■<P
wobei hier w r ieder = cos q> Q die Konstante der rechteckigen Plattkarte ist. Wie bisher wenden wir die Dar-
