Dr. H. Thorade: Gezeitenuntersuchungen in der Deutschen Bucht der Nordsee.
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Nachdem der Nullstrom bekannt ist, besteht die weitere Aufgabe darin, die Gleichungen (9) zu in
tegrieren, die nach Einsetzen die. Form annehmen:
dV
— cru' — 2 mv'
cru"—2i»v = v
dz 2
d 2 u'
dz s
(13)
—, —„ dV'
— <rv + 2 wu *= v
dz 2
—„ d 2 v'
rrv + 2mu = v
dz 2
Die Integration dieser 4 homogenen linearen Differentialgleichungen kann leicht durch Übergang zu
komplexen Variabein bewerkstelligt werden; multipliziert man die erste und dritte Gleichung mit i,
addiert sie zur zweiten und vierten und setzt u' -j- iu" — u, v" + iv — t), so wird
d 2 u
iou — 2(wd = v —
dz 2
d 2 p
(14)
dz 2
— iefö 4- 2wu
und die Elimination von o ergibt
d 4 u 0 . d s u
— + 2 iov
dz 2 dz 2
was mit dem Ansätze u = C • e Az auf die charakteristische Gleichung führt
>- 2 X* + 2 i 0 v A s — (a 2 — 4co 2 ) = 0.
{o* — 4«> 2 ) u = 0,
Setzt man
fj =
so sind die Wurzeln
~i / a + 2w ~t f a — 2w
¡/ 2v ’ ** = [/ 2r ’
(15)
(1 i) G> "h (1 0 0 *i> i) G
Nun waren u = u —u 0 , v = v— v 0 die Unterschiede zwischen den Strömungen bei vorhandener
und bei fortgedachter Reibung. Dieser Unterschied ist offenbar am geringsten in der Nähe der Ober
fläche des Meeres, und er müßte ganz verschwinden, wenn das Meer unendlich tief wäre; es müßte also
u = 0, o = 0 sein für z— 400, und daraus folgt, daß ). l und L wegen ihres positiven Realteils auszu
scheiden sind. Daher isf
U = u' 4- iu" = Cie (1 £lZ 4- C,e (* *) f * z >
wo C, und C 2 Integrationskonstanten sind.
Die erste Gleichung (14) liefert dann
D = v 4- iv'' = iC 1 e~*^ — iC s e (1-—0***
Die Trennung der Real- und Imaginärteile gibt mit dem Ansätze C x = A 2 -f-i Bj, C 2 = A, + iB e :
u' — e~ £lZ (A 1 cos c,z — B, sin c,z) 4- e“ £äZ (A s cost s z — B 2 sin f ä z)
u"= e — w (A, sin tjZ 4- Bj cos t A z) 4- e“ fäZ (A 2 sin e t z 4- B 2 cos e ä z)
V *= -e~ £ i z (A, sin fjZ 4- B x cos e 1 z) 4- e ~ f2Z (A 2 sin e 2 z 4- B ä cos e ä z)
v" = e £|Z (A, cos f,z — B, sin c, z) — e ~ £lZ (A.cos e t z—B ä sin i s z)
(16)
