44 
Aua dem Archiv der Deutschen Seewarte. — 45. Bd. Heft 1. 
bis IX ist ( s. Spalte X bis XII); je geringer also ohne Berücksichtigung der Vorzeichen die 
Mittelwerte der Spalten X bis XII sind. , 
Hätten die Werte der Spalte II zu denen der Spalte III bis V keine Beziehung, so müßten 
die Mittelwerte der Spalten X bis XII ohne Berücksichtigung des Vorzeichens der Einzelwerte etwa den 
9*—1 
Wert = etwa 2.96 10 ) ergeben. Die tatsächlichen Werte 0.56, 0.56, 0.67 bei den Vorhersagen 
3 X 9 
A bzw. 0.44, 0.44, 0.89 bei den Vorhersagen B der Zusammenstellung Nr. 4 sind aber nur das 0.19, 0.19, 
0.22-fache bzw. das 0.15, 0.15, 0.30-fache von 2.96. 
Der Forderung in Absatz 1 dieses Abschnitts wird also bei allen drei Festsetzungen für 
h gemäß den Formeln (13a) wie <13b) und (13c) in recht weitgehendem Maße entsprochen; in 
genau dem gleichen Maße bei den Festsetzungen h = h, und h — h 2 nach den Formeln (13a) und (13b); 
nicht ganz so gut bei der Festsetzung h = h 3 nach Formel (13c). 
Letzteres Ergebnis läßt vermuten, daß die Festsetzung h = h 3 bei der endgiltigen Ermittlung 
des Wertes von h ausfallen wird. Diese Vermutung wird ohne Rechnung noch durch die 
Überlegung verstärkt, daß bei der Festsetzung von h höchst wahrscheinlich sämtliche Vorhersage 
gruppen zu berücksichtigen sind. Dies ist zwar der Fall bei der Festsetzung von h = h x und h = h. 
nach den Formeln (13a) und (13b); hingegen bleiben bei der Festsetzung h = h., } nach Formel (13c) die 
vier Gruppen (aob), (boa), (cob) und (boc) unberücksichtigt; also die beiden Gruppen des Über 
10 ) Für Interessenten möge abgeleitet werden, welche durchschnittlichen Unterschiede (D) zu erwarten sind, 
wenn eine Abhängigkeit zwischen den Werten der Zusammenstellung Nr. 4 Spalte H gegen die Werte der Spalten III 
bis V fehlt. Zu diesem Zweck werden sämtliche Permutationen der Reihe 1,2,3,4 n vorgenommen; das 
ergibt 1X2X3X X (n—1) X. n=n! Portmutationen. Jede Pemiutation besteht aus den n EinzelgMedem 
1, 2, 3 n, wobei jede Reihenfolge je einmal vorkommt. Die Gesamtheit der Permutationen ergibt also [n (n!)J 
Einzelwerte. 
Jeder dieser Einzelwerte werde nun bei jeder einzelnen Permuiation von der unveränderten Reihe 1, 2, 3,.... n 
abgezogen, dann ergeben sieh nX(n!) Unterschiede. Die algebraische Summe für die n Binzeiglieder der mit jeder 
einzelnen Permutation abgeleiteten Unterschiede ergibt stets den Wert Null. Die Summe dieser Unterschiede ohne 
Berücksichtigung der Vorzeichen dividiert durch die Gesamtzahl der Unterschiede [nX(n!)l ist der gesuchte Wert D. 
Es ergeben sich z. B. für n=4 die 4! —. 24 Permutationen 
1, 2, 3, 4 * 1, 2, 4, 3 * 1, 3, 2, 4 * 1, 3, 4, 2 * 1, 4, 2, 3 * 1, 4, 3, 2 ** 
2, 1, 3, 4 * 2, 1, 4, 3 * 2, 3, 1, 4 * 2, 3, 4, 1 * 2, 4, 1, 3 * 2, 4, 3, 1 ** 
3, 1, 2, 4 * 3, 1, 4, 2 * 3, 2, 1, 4 * 3, 2, 4, 1 * 3, 4, 1, 2 * 3, 4, 2, 1 ** 
4, 1, 2, 3 * 4, 1, 3, 2 * 4, 2, 1, 3 * 4, 2, 3, 1 * 4, 3, 1, 2 * 4, 3, 2, 1 **. 
Diese Einzelwerte von der Reihe 1,2, 3, 4 der Reihenfolge nach abgezogen ergaben 0, 0, 0, 0 X- 0, 0, —1, 1 * 
0,—1,1,0* 0,-1,—1,2* 0,—2,1,1* 0,—2,0,2** —1,1,0,0* —1,1,—1,1* -1,-1, 2,0* -1,-1,—1,3* 
-1,-2, 2,1* -1,-2, 0,3** —2,1,1,0* —2,1,—1,2* —2, 0, 2, 0 * —2,0,—1,3* —2,—2, 2, 2* 
-2,—2, 1,3** —3,1, 1,1* —3,1, 0,2* —3,0, 2,1* —3, 0, 0, 3 * —3, —1, 2, 2 * — 3,-1, 1,3** 
Die algebraische Summe der je 4 durch * oder * * von einander getrennten Unterschiede ist stets Null. Die 
Summe der 4X(4!)=96 Einzelwerte ohne Berücksichtigung der Vorzeichen ergibt 120; hieraus folgt als Durchschnitts 
wert D=120 : 96 = 1.25. Dieser Wert ist also ungefähr zu erwarten, wenn zwischen den je 4 ihrer Größe nach ge 
ordneten Gliedern zweier Reihen keine Abhängigkeit besteht. 
Die Auszählung zeigt, daß im vorvorigen Absatz für n=4 bei Vernachlässigung der Vorzeichen vorkommt 
der Unterschied 4 — 4 — 0 insgesamt 24 = 4X[(4—1)1] mal, 
4 — 3 = 1 „ 36=2X3X1(4-1)!] 
4 — 2 = 2 „ 24 =2X2 X [(4-1)!] „ , 
4 — 1 = 3 „ 12 = 2 X 1X [(4—1)!] „ . 
Die Faktoren von (4—1)! ergibt folgende Ueberlegung. In der obersten Reihe weide stets die Folge 1, 2, 3, 4 an 
genommen; in der zweiten darunter stehenden Reihe werden alle 24 Permutationen der Zahlen 1,2, 3,4 vorgenommen. 
Dann ergibt sich abgesehen sowohl vom Vorzeichen wie vom Faktor (4—1)! = 6 als Unterschied gegen die Nummer 1 
der obersten Reihe einmal (1—1), also 1X0; einmal (1—2), also 1X1; einmal (1—3), also 1X2; einmal (1—4), also lXä. 
Bildet man entsprechend die Unterschiede gegen die Nummern 2,3,4 der ersten Reihe, so ergebet! sich dem 
nach als Unterschiede gegen (Fortsetzung siehe nächste Seite)