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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte — 1918 Nr. 1 —
sin cp
Man findet hieraus
sin $ = sin a . sin s . cos <3 + cos u . V 1 + (sin ä . sin cp + cos d . cos cp . cos s) 2 — sin 2 s . cos 2 ö .. XI)
Mit der Kenntnis von £ wird man dann leicht aus VIIIj) tj berechnen.
Um auch die Natur der Schattenkurve zu ermitteln, auf welcher TJ liegt, gehe man von den Gleichungen
sin cp , cos s = cos cp . tang ö + sin s . cotg (« + A«)
sin (ffi + i a). cos h
sm s =
XII)
cos s
cos d
cos tj . cos £ — sin <5. sin <p
cos d . cos cp
aus, deren letzte aus der Verbindung von VIII 2 ) mit 1X 2 ) hervorgeht. Da die Schattenlinie für alle Stunden
des Tages gilt, so ist ihre Gleichung das Resultat der Elimination von s aus XII). Das gibt:
cos v .cos t — sin S . sin cp sin (« + A «) . cos h . , , . ,
sin cp . *—& ~ cos f ■ *№№ff o j . cotg (a + A «)
cos Ö . COS cp
Aus der Figur liest man ohne Weiteres ab:
XIII)
x
woraus sich ergibt
Ebenso ersieht man, daß
ist. Aus
findet sich
tang A a — ,
sin Aß =
x
COS fj
V x ■ -f- (j ~
?£_ .
V x' 1 + y- ’
COS A Ci = ^
COS
V x 1 + q l
J = \/ Z 2 4- y *
' X 2 + y l + <i l
cos h
sin
cos A u
7 \ x 1 + q 2
cos ll = —5—; r~, i
v x l + y 2 + q 1
Entwickelt man jetzt XIII) und ersetzt darin sin A «, cos ^ et, cos ij, cos J und cos h durch die eben gefun
denen Werte, so folgt
V
V x 2 + y ~
V x 2 + y 2 T x 2 + y l + q 2
oder vereinfacht
_ = sin d . sin 2 cp + sin (5 . COS 2 cp -J- COS cp
q . cos ct
x. sm a
_V x 2 + y 2 V x 2 + y 2 _
\/ x 2 + y 2
V x 2 + y 2 + q 2
y . sin cp
. „ q . cos a — x. sm «
_ = sm 0 + -i— — . cos cp
V x 2 + y 2 + q 2 V x 2 + y 2 + q 2
XIV)
Durch Quadrieren und Beseitigen der Nenner geht XIV) über in die Kegelschnittsgleichung
y 2 (sin 2 cp—sin 2 d) + yi- (sin 2 u . cos 2 cp—sin 2 ö}-\-x . y . sin « . sin 2 cp—x . q . cos 2 cp . sin 2 a—y . q . cos u . sin 2 cp
+ q 2 . (cos 2 a . cos 2 cp — sin 2 6) = 0 • XV)
Dieser Kegelschnitt ist eine Ellipse oder Hyperbel, je nachdem, wie aus der analytischen Geometrie bekannt.
A = (sin 2 cp — sin 2 S). (sin 2 a . cos 2 cp — sin 2 6) —- sin 2 </. cos 2 cp . sin 2 a > 0 ist, ein Ausdruck, der
sich auch so schreiben läßt
A == sin 2 c) £sm 2 d — sin 2 cp (1 + sin 2 u . cotg 2 cp) J
A kann, falls « sehr klein ist, > 0 sein unter der Bedingung, daß ö> cp ist. Es ist also die Schattenkurve
nur in der heißen Zone eine Ellipse und auch dort nur für sehr schwach deklinierende Verti
kaluhren, in der gemäßigten Zone ist sie stets eine Hyperbel.