Dr. Carl Scliov: Arabische Gnoraonik. 
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Wendepunkte da. Setzt man q = 1, so wird Gleichung VII) annähernd befriedigt durch den Wert q\ = 0.106, 
woraus man zieht: 
Q = + FO.106 = ± 0.302, 
während der längste Mittagsschatten für q = 1 zu u = +0.43 wird. Die Wendepunkte treten etwa hei 
d = +17° ein. 
Mau kann sich nach dem Vorausgehendeu leicht ein genaueres Bild eines Mittagshäfirs machen, so 
wie ihn Fig. 1 auf Tafel I zeigt. Zweimal im Jahre passiert die Sonne den Aequator, (21. III und 23. IX) 
erreicht mithin unter cp 0° das Zenit, so daß an diesen Tagen der Mittagsschatten = 0 ist. Dieser 
Häfir muß daher eine 2mal durch den Anfangspunkt des Koordinatensystems gehende Kurve, ein zur X-Achse 
symmetrisch liegendes Doppeloval sein. Da vom Aequinoktium d schnell wächst oder abnimmt, so muß ein 
solches Oval von 0 aus erst ziemlich weit nach rechts und links ausscheeren, um dann allmählich anzu 
steigen oder nach unten zu fallen.') 
Ebenso muß y nach I) für jeden anderen Ort der Erde 2mal = 0 werden, wenn <p — ö ist (also 
nur innerhalb der heißen Zone). Doch sind nicht mehr beide Hälften des Häfir symmetrisch. 
Außerhalb der heißen Zone hat <j das ganze Jahr einen endlichen Wert. Nach I bleiben die Schatten 
für d=+f am kürzesten. Tafel I, Fig. 2 zeigt einen von mir berechneten Mittagshäfir für cp = 30°. Er hat 
eine herzförmige Gestalt mit deutlicher Spitze. 
Man kann auch die Gleichung eines Häfir für eine beliebige Stunde und unter der Annahme, daß 
cp =|- 0 sei, entwickeln, allein ihre Diskussion wird bei der Kompliziertheit der Ausdrücke naturgemäß sehr 
unübersichtlich. Trotzdem will ich die allgemeinste Gleichung eines Häfir noch ableiten und für cp— 0, 
s eine Parameterdarstellung angeben. Für eine beliebige Sonnenhöhe li ist die Schattenlänge 
o = q . cot ff h 
Aus dem Zenit-Pol-Sonnedreieck folgt: 
sin Jl = sin Ö . sin cp + COS 6 . COS cp . cos s 
und hieraus: 
, , Fl—sin 2 h Fl—(sind.sincr+cosd.tvscp.soss) 2 
cotd h = - , — = ;——.- — - 
Sin n Sill 0 . Sin cp + COS 0 . COS cp . cos s 
Mithin wird 
Fl — (sin 6 . sin ti +co.s ö . cos cc . cos a)- 
<>—<]. .. — — 
Sin O . Sin cp + COS 0 . COS cp . cos s 
') Der Mittagshäfir am Aequator ist eine leicht quadrierbare Kurve, Nach der bekannten Quadraturformel für 
1 r 
Polarcoordinaten: F =-- J pp.dl hat man nach ITT 
l I 
,, 1 p cf 1 sin- £ . sin- I , , O 2 P sin- £ . sill 2 1 , , 
2 = . rr-<t‘ = r — .dl. 
1 i) 1—sm-s . sin-1 2 .1 1-sin- e . sin -1 
0 u 
2 
Der Bruch unter dem letzten Integral läßt sich in eine sehr rasch eonvergierende Potenzreihe entwickeln, da sin £ — ist 
Es ist: sin-e. sin-1 
-.— .. r = sm 1 £ . sm-1 + sin 1 £ . stir l + sin h £ . sui b l + . . . 
1 SUl 1 £ . Sl/l 1 l 
Mithin 
l 
F = 
Nach der bekannten Reduktionsformel 
__ . I ■ s ' n e F J s j n -i i pi -f-sin" 1 £ J* sin' hil -¡-sin* £ J* sin 1 ' l d l + .. ,1 
" 0 o J 
sin m ~~ 1 l. cos l m—1 
J“ 
sin m Idl = 
m m 
lassen sich die vorliegenden Integrale leicht bestimmen. 
Nach der Methode der Partialbruch Zerlegung findet man auch 
l I 
dl 
sm m ~ 2 Idl 
F = 4- f f r dl ■ ; - f - ~!- d l ] 
4 [J 1 —sinssinl J i + smcsml 
Das erste Integral hat den Wert: 
- arclang I 
(VESF ""’(«• w)) 
Das 2. aber ist ein elliptisches.