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Die geschichtliche Entwicklung der Polhühenbestimmungen bei den älteren Völkern. 
4. Wie mail die Breite an der Yertikalulir über der Ost-Westlinie finden kann. 
Auch hier müssen wir uns erst über die Lage der Schattenkurven klar sein. Fig. 23 sei die 
Kugeliigur mit der Uhrebene E, welche durchsichtig zu denken ist. Der Fußpunkt C des Zeigers q ist 
Mittelpunkt der Himmelskugel. Die Uhrebene E geht durch den Schnitt des Äquators mit dem Horizont, 
d. h. durcli die Ost-Westlinie (O-W). Der Zeiger ist also nach dem Südpunkt S gerichtet. Die Schatten 
linie für einen Tag des Äquinoctiums 0, Tlq liegt unterhalb C, geht 0 W gleichlaufend durch M, so daß 
der Mittagsschatten am 21. März und 23. September die Länge MC = q • taug (00°—®) = q • cotg cs hat. 
Wenn der Sonnenmittelpunkt in K, der Kulmination des Krebses, angekommen ist, so fällt der Schatten 
der Gnomonspitze nach A', *) hinab, und es ist ('K x — q ■ cotang (cp — s); entsprechend erhält man für den 
Wendekreis des Steinbocks: CSt l — q ■ cotang (cp + s). Im Auf- und Untergangspunkt 0 und 11' der 
Sonne zur Zeit der Tag- und Nachtgleichen laufen die Sonnenstrahlen parallel der Ebene E, und der 
Schatten der Gnomonspitze fällt auf 0 1 TU, jeweils in unendliche Ferne. Der Wendekreis des Krebses 
durchsetzt E in den Punkten X und Y; sie liefern unendlich ferne Punkte der Krebshyperbel; da aber 
die Schnittpunkte des Steinbocks mit dem Horizont (z. B. E) vor der Bildflächc E liegen, so fehlen der 
Steinbockshyperbel auf E die unendlich fernen Punkte; sie endigt in i/j. 
oc) „Es sei ein solcher Vertikal in der Ost-Westlinie gegeben; man verlangt die 
Breite, für welche er konstruiert worden ist. Sie ergibt sich leicht aus dem Vertikal 
schatten des wahren Mittags im Widder und der Länge des Gnomons.“ 
Man hat nämlich, wie schon oben im Text erwähnt ist, MC — q ■ cotg cp oder tang<p = -^^,. 
¡ü) „Wenn man aber sagt, daß die Länge des Gnomons unbekannt ist, sei es 
wegen seiner konischen Form, oder weil er verloren ging, obwohl der Schatten des 
wahren Mittags unbekannt ist, sei es, weil das Zentrum des Gnomons zerstört wurde, 
oder daß es auf seinem Standort festgemacht ist, so kann man zur Ermittlung der 
geographischen Breite also verfahren: 
Wenn der Gnomon unbekannt ist, so nehme man mit dem Zirkel den Teil des 
Parallels des Widders, der zwischen der Mittagslinie und dem Beginn der vierten 3 ) 
Stunde liegt, und trage ihn als Strecke AH auf (Fig. 24); hierauf mache man Winkel 
HA C = z gleich der Schiefe der Ekliptik. Von H aus ermittle man den Punkt C 
durch Abtragen jenes Teils der Mittagslinic, die zwischen dem Anfang des Widder- 
und Krebsparallels liegt, auf dem freien Schenkel des Winkels e. Dann ziehe man 
durch CH eine Gerade bis zu dem beliebigen Punkte E und lasse von A dns Lot Al) 
auf sie herab; diese Strecke wird gleich der Länge q des Gnomons, Winkel AUE 
gleich der gesuchten Polhöhe cp sein.“ 
Zum Beweise berechnen wir erst die Strecke A TI; sie ist ein Stück des Äquatorbildes; im wahren 
Mittag fällt der Schatten der Gnomonspitze nach M. Um den Schatten derselben zu Beginn der vierten 
Stunde, also bei einem Stundenwinkel von s = 45° zu bestimmen, müssen wir das zugehörige Azimut 
der Sonne kennen, weil von diesem die Länge eines auf die Ost-Westebene fallenden Schattens abhängt. 
Mittels des Kotangentensatzes ergibt sich aber aus dem uns bereits geläufigen Zenit—Pol—Sonnendreieck: 
cos (90 0 — ®) • cos s = sin (90 0 — ®) • cotg (90 0 — 3) — sin s • cotg (180 0 —- <*), 
woraus unter Beachtung, daß s = 45 0 ist und die Sonne keine Deklination hat, also 90 0 — 3 = 90 0 ist, 
sofort folgt: 
sin cp = cotg <z. 
Es ist aber nach Fig. 23: —— = taug a ==- —. -—. 
q sin cp 
A H —- 
_ 3_ 
sin cp ’ 
’) In Fig. 23 stellt K statt A',. 
2 ) Im Sédillotschen Text wohl irrtümlich: la partie du parallèle du Bélier comprise entre la ligne méridienne et 
le commencement de la troisième heure, womit die Rechnung nicht stimmt.