Aus dem Archiv der Deutschen Seewürfe. 1909, Nr. 1. 
6 
A Aj = d • cosec. d @ — q- coscc /<■; jBBx == d-cosec d 0 — g-cosec // und damit AA a = g == ri ri j • sin <J 0 == 
(f7• cosec —g-cosec 7f)-sin d e = <7—g-cosec A• sin d 0 . Ebenso: = f == sin <5 0 = (>7• cosec <J 0 — 
q. cosec /«') • sin d 0 — rf—g-cosec A'-sin d & , womit /'und g in lauter bekannten Größen ausgedrückt sind. 
Wäre nun noch Fl 1 \ = z gegeben, so würde man auch tp sofort kennen; da ja s = d— q-cos tp. 
Nun ist aber J> 2 FA — x 2 = b 2 -— (st — / ) 2 
= A 2 — £ 2 + 2 f-e-f e 
= 6* — (d 2 —2 <lq ■ cos ip + g 8 cos 2 1/<) + 2 df — 2 /'■ q ■ cos tp — f 3 
=— q 2 cos 2 tp + 2 q (d—f) cos tp + b* — d 2 + 2 df— /’ 2 . 
A~F 2 = y 2 = c 2 -(s — g) 2 
— — g 8 cos 2 (/' + 2 g ■ (df —• g) cos tp + c 8 — d 2 + 2 dg — f 2 . 
Aus der Heronschen Inhaltsformel erhält man für das Dreieck A 2 B 2 F 2 = J l = J■ cos tp: 
16 J/ = — fl/ — ?>/ - e/ + 2 fl/ 7>/ + 2 «/ c, 8 + 2 &!» c/ 
- — «/ — (*, 8 - G 2 ) 2 + 2 «r 3 (V + c/) 
= — «/ — {2g-(f/ — f) cos xp -f m — n } 2 + 2 a t { — 2 g 8 cos 3 tf* + 2 g-cos tp (2 d—f— g) + m -f n } 
= — 4g 2 cos 2 tp {(g — f) 2 + fl/ } — 4g-cos</< { (g—f) (m — «) —«/ (2d—f—g)} + einer geg. Größe M 
16 J / = 16 ¿7 2 cos 3 f/.'; cos xp = cos (90° — qp) = sin rp; «/ = a 2 — (g — f) 2 , 
folglich erhalten wir in sin tp folgende quadratische Gleichung: 
4 (4 J 2 + a 2 q 2 ) sin 2 rp + 4 q {[g — f) (m — n) - a/ (2 d — f— g)} sin tp = AT. 
Ersetzt man hier noch «/ durch a 2 — (g — /j 2 , so sieht man, daß der Inhalt der geschwungenen 
Klammer von sin rp eine Funktion der sechs gegebenen Größen: a, b, c, d, f,g—G (a, b, c, d, f, g) und M 
ebenso eine andere Funktion G x derselben sechs Stücke ist. Somit läßt sich die quadratische Schluß 
gleichung der D o u w e s sehen Aufgabe auch so schreiben: 
4 (4 J 2 + a 2 q 2 ) • sin 2 cp + iq-G (fl, b, c, d, f, g) ■ sin tf>= G t (a, b, c, d, f, g). 
Für mehr ins Detail gehende Studien in dieser Richtung gestattet sich der Verfasser auf seinen 
schon zitierten Aufsatz sowie seine „Beiträge zur konstruktiven Lösung sphärisch-astronomischer Aufgaben“ 
(1910, Leipzig, Teubnor) zu verweisen. 
III. 
Unsere eben betrachtete Aufgabe ist quadratisch; d. li. es genügen zwei Polhöhen: rp 1 und rp 2 
den gegeben Bedingungen. Man kann nun auch nach Aufgaben fragen, deren Lösung auf eine Gleichung 
von höherem als dem zweiten Grade führt. Früher erwartete man bei etwas verwinkelteren Aufgaben 
der sphärischen Astronomie auch stets eine Gleichung höheren Grades als Schlußformel. Erwähnt sei nur 
das berühmte Problem der kürzesten Dämmerung, von dem auch Kästner noch glaubte, daß die 
Anwendung der höheren Analysis und die Auflösung einer hi quadratischen Gleichung nicht zu 
umgehen seien (Astron. Abhandlungen 2. Bd. 1774). Heute wissen wir, daß die Behandlung dieser 
Minimumsaufgabe ganz elementar und ohne höhere Gleichung möglich ist; ja, daß eine solche in 
sphärisch-trigonometrischen Aufgaben nur ausnahmsweise in dem Potlienotschen Problem auf der 
Kugelfläche auftritt. Hier ist dieselbe vom vierten Grade, und man könnte versucht sein zu glauben, 
daß der trigonometrische Kalkül nur auf lineare, quadratische oder biquadratische Gleichungen führe v ). 
Im Gegensatz zur Douwessehen hat die Pothenotsehe Aufgabe auf der Sphäre noch eine sehr kurze 
*) Dies ist jedoch anscheinend nicht der Fall. In der Abhandlung: De minima variatione azimuthi stellarum circulos 
parallelos uniformiter describentium untersucht A. F. Möbius die Frage, wann die Änderung des Azimuts am lang 
samsten sei. Delam bre und Biot hatten dieselbe stillschweigend in den Sechsstundenkreis verlegt; sie findet aber 
dort nur statt für <!=o oder cos tS = cotg q, während sieh die Deklination für den am meisten nach Norden entfernt 
liegenden Ort für eine gegebene Polhöhe aus der für <f tatsächlich kubischen Gleichung 
tang 6 S — S taug 2 <f • tang 3 q + tang 3 q — taug 1 q> — o 
errechnet.