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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte — 1003 No. 3 — 
trigonometrische Reihe nach Sinns und cosinus der Vielfachen ein und desselben Winkels die Bezeichnung 
der ,.B e ss el sehen Formel“. Von meteorologischen Elementen unterzog Bes sei selbst, Luftdruck und Luft 
temperatur der Darstellung durch seine Methode. Hierdurch wurde den Meteorologen zum ersten Male die 
Mannigfaltigkeit ihrer Beobachtungsreihen in analytischer Form vor Augen geführt, und wenn man bedenkt, 
wie sehr man nach einer solchen gesucht hat, je mehr das Material mit der Zeit an wuchs, so wird man die 
Ueberschätzung sich erklären können, die man der Entwicklung nach trigonometrischen Reihen entgegen 
brachte, eine Ueberschätzung, von der Besse 1 natürlich vollkommen frei war, die aber sonst das Kenn 
zeichen dieses zweiten Abschnittes ausmacht. 
Erst der dritten Periode, der Zeit etwa von Mitte der 80er Jahre des verflossenen Jahrhunderts an, 
war es Vorbehalten, die fehlende Kritik zu üben. Den ersten Anstoß zu solchen Betrachtungen gab K. Weih 
rauch in Dorpat. Seine Ansichten bedurften jedoch ihrerseits wieder einer eingehenden Korrektur, die 
ihnen auch in den oben namhaft gemachten großen Berichten von Ad. Schmidt und H. Burkhardt ge 
worden ist. Als neu tritt in diesem Abschnitte die, wohl zuerst von Schreiber*) behauptete physikalische 
Natur der Koeffizienten auf. Es ist dadurch ein neues strittiges Moment in die Frage eingetreten, und es 
erwächst daher für den Meteorologen die Aufgabe, sich über den der Anwendung trigonometrischer 
Reihen in der Geophysik zu Grunde liegenden Gedanken völlige Klarheit zu verschaffen. 
Die hierhergehörigen Untersuchungen der reinen Mathematik haben zu der Erkenntnis geführt, daß 
eine jede Funktion durch unendliche Reihen von Sinus und Cosinus der Vielfachen ein und desselben Winkels 
convergent darzustellen ist, wenn sie in dem betrachteten Intervall weder unendlich, noch unendlich oft 
durch Sprung unstetig wird, noch unendlich viele Maxima und Minima besitzt. Diese sogen. „Dirichlet- 
schen Bedingungen“ sind lediglich hinreichende, nicht auch notwendige. Die Funktion kann auch nur 
auf eine Weise in eine in gleichem Maße konvergente Reihe der Art entwickelt werden, und es sind dann 
die Koeffizienten durch die Fourier sehen Integrale bestimmt. Alle drei Anforderungen der Dirichl et sehen 
Bedingungen sind bei allen in der Geophysik auftretenden zeitlichen Verläufen, hei denen die Methode in 
Anwendung kommen soll, im allgemeinen erfüllt, doch könnte immerhin im gegebenen Falle die Konvergenz 
der Reihe eine so langsame sein, daß die Entwicklung praktisch nicht brauchbar ist, und zu viele 
Glieder zu berechnen wären. Beispiele bilden alle Verläufe mit schnellen Richtungsänderungen (luftelektrisches 
Potentialgefälle, Erdstrombeobachtungen u. a. in,). Auch der Erdmagnetismus weist solche häufigen Os- 
cillationen auf, und es wird deshalb im zweiten Teile vorliegender Arbeit die Grenze der Darstellungs 
fähigkeit bestimmt festgelegt. Jedoch auch der zweite Punkt, daß die Funktion nicht unendlich oft unstetig 
wird, zeigt sich bei tieferem Eingehen auf das Wesen empirischer Funktionen als nie erfüllt. Selbst eine 
scheinbar kontinuierliche Registrierung besteht, noch bevor wir molekulare Dimensionen in Rücksicht ziehen, 
aus diskontinuierlichen, z. B. gefärbten Papierfasern, zwischen denen die Darstellung einer trigonometrischen 
Reihe noch beliebig hin-und herschwanken kann. Aber auch der zu Grunde liegende Naturvorgang 
kann diskontinuierlich sein. So gewinnt zur Zeit die Auffassung immer mehr an Boden, daß die Sonne 
elektrisch geladene Teilchen aussende, die auf die Erde gelangend, an dem Zustandekommen der erd- 
elektrischen und erdmagnetischen Erscheinungen ganz wesentlich beteiligt sind. Es leuchtet ein, daß danach 
die erzeugten Variationen diskontinuierlich sein müssen, und zwar ist die Zahl der Diskontinuitäten in re 
lativ kleinem Zeitintervall schon praktisch unendlich. Es gibt jedoch auch Diskontinuitäten relativ zur 
Länge der Periode von großer Dauer; es wird hier z. B. an die Niederschläge gedacht, für die, ob 
wohl sie lange Zeit unterbrochen sein können, doch tägliche, jährliche usw. Verläufe berechnet werden. 
Wir schließen aus dem Vorausgegangenen, daß es selbst durch unendliche Reihen der betrach 
teten Art im allgemeinen unmöglich sein wird, eine gegebene Funktion absolut darzustellen. 
Man verlangt daher nur eine Darstellung bis zu einem gewissen Grade der Genauigkeit in Zeit sowohl, als 
in Ordinate. Es entspricht das dem Umstande, daß man es bei einer „empirischen Funktion“ mit einem 
„Funktionsstreifen“ zu tun hat, nicht mit einer Kurve im praecisions-mathematischen Sinne. (Ueber dies 
Thema vergleiche man F. Klein: Anwendungen der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie. 
Leipzig, in Kommiss, hei B. G. Teubner, 1902.) Um so mehr ist zu erwarten, daß die endliche trigono 
metrische Reihe eine ungenügende Darstellung geben kann, worauf wir später zurückkommen werden. — 
*} Nova Acta Leop.-Akad. 58. 1892.