Prof. Dr. C. Borgen: Ueber die Auflösung nautisch-astronomischer Aufgaben etc. 
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(7) — cot-№ : f(M) = -cof(x + y) + cof{x — y) 
(8) sinx ~ tgte '■ /(?) — 2/(as) 
(9) COS x — tg te '■ /(§) ~ 2 cof (ie) 
Wird die Gleichung (1) differentiirt, so ergiebt sich: 
■worin dx in Theilen des Radius ausgedrückt sein muss. Setzt man die Aenderung des Winkels x — 1', so 
kann ex — sin Y gesetzt werden, daher: 
n .f (x) ~ sec x (für eine Aenderung von X = 1') 
Ebenso findet man: 
d. cof (x) — — cosec x (für eine Aenderung von x — 1') 
d. h. die Differenz zweier Funktion«- resp. Kofunktionswerthe, deren Argumente x um 1' verschieden sind, 
ist e= secx resp. —cosec x. In der als Anhang beigefügten Tabelle ist in jeder Abtheilung von 10' die 
mittlere Differenz der Fuuktions- resp. Kofunktionswerthe auf 2 Stellen angegeben, welche demnach die der 
Mitte der Abtheilung entsprechende Sekante resp. Kosekante darstellt. Ausser für die Interpolation können 
diese Werthe, die mit D x bezeichnet seien, auch dazu dienen, die Differenz zweier Funktionswerthe, deren 
Argument nur wenige Minuten von einander verschieden sind, genauer zu berechnen als es durch direkte 
Entnahme der Funktionswerthe möglich sein würde, nämlich: 
(10) /(« + Ax)—f(x) — *x.sec(x-t-iAas) = Sx.D x+h ^ x 
D x +ikann leicht durch Interpolation zwischen den in der Tafel gegebenen Werthen von D r ge 
funden werden. Zur Erleichterung des Ueberganges von der Funktion zur Kofunktion und umgekehrt ist 
in der Tabelle ebenfalls das Verhältnis» des der Funktion angeliörigen D x zu demjenigen, welches der 
Kofunktion zugehört, gegeben; diese Werthe stellen daher tg x und cot x für die Mitte der betreffenden 
Abtheilung dar und sind in der Tabelle in Klammern gesetzt, um eine Verwechselung mit den D x zu ver 
meiden. 
B. Auflösung sphärischer Dreiecke mit Hülfe der Mercator’schen Funktion. 
B 
In dem sphärischen Dreiecke ABC seien die drei Seiten mit a, b, c 
und die diesen gegenüberliegenden Winkel mit A, B, C bezeichnet. 
Um das Dreieck aufzulösen, müssen drei Stücke bekannt sein, 
während die drei andern zu bestimmen sind. Je nach den gegebenen 
Grössen können 6 verschiedene Fälle unterschieden werden, wir haben 
daher 6 Aufgaben zu lösen, welche nun einzeln behandelt werden sollen. 
Aufgabe 1. Gegeben zwei Seiten und der von ihnen eingeschlos 
sene Winkel — gesucht die beiden andern Winkel und die dritte Seite. 
«. Es seien gegeben A, b und c, gesucht B, C und a, dann findet 
man die beiden Winkel bequem mit Hülfe der Neper’schen Analogien, 
nämlich: 
tgHB+C) 
cos 4 (b—c) 
cos i (b+cj 
cot 4 A, 
tg 4 (B—C) 
Sin .] (b—c) 
sin 4 (&+c) 
cot i A 
Wird hierin gesetzt: 
cos 4 (b+r) 
cos 4 (b—c) 
tg £ £ und 
sin j (b+c) 
sin 4 (b—c) 
= cot 4 §, 
so wird: 
daher nach (6) und (7): 
cot b (BAC) = cotiicot ^ A cot 4 (B-C. 
cot 4 gl 
cot 4 A