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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte — 1S94 No. 6 — 
Abhängigkeit der Variabelen entspricht. Jedes solche Prinzip, welches n Elemente, deren jedes eine der 
n Veränderlichen vorstellt, als nach der Beziehungsgleichung zusammengehörig, einander zuweist, muss sehr 
einfach sein, damit seine praktische Anwendung mit geringem Zeitaufwand und mechanisch erfolgen kann. 
Ein durch die Isoplethen der unabhängigen Variabelen bestimmtes Gebilde muss den zugehörigen Funktions 
werth anzeigen. 
B. Darstellungen durch Kurvenscharen. 
Wir betrachten zuerst eine Gleichung mit drei Variabelen. Das einzige praktische Prinzip, um drei 
Kurven einander zuzuweisen, ist hier die Bedingung, dass sie durch einen Punkt gehen sollen. (Eine ge 
meinschaftliche Tangente zur Zuweisung zu benutzen, geht deshalb nicht an, weil das Anlegen einer solchen 
Tangente, etwa eines gespannten Fadens, nach dem Augenmaass zu ungenau wird, besonders, wenn die be 
treffenden Kurven nicht selbst gezeichnet vorliegen, sondern ihre Lage erst durch Interpolation geschätzt 
werden muss.) Ein solcher Punkt muss dann durch zwei Linien, welche Bilder eines Werthepaares der un 
abhängigen Veränderlichen sind, bestimmt sein. Diese Linien sind i. A. gekrümmt; auch wenn die Funktion, 
deren Werthe durch den Abacus gefunden werden sollen, eindeutig ist, ist es nicht nothwendig, dass die 
unabhängigen Variabelen x, y durch Gerade dargestellt werden, damit für ein Werthepaar x, y sich nur 
ein Schnittpunkt ergebe. Für unsere Zwecke sind in diesem Falle vielmehr alle Kurven zulässig, wenn sie 
nur für das darzustellende Gebiet der Veränderlichen einzelne Schnittpunkte ergeben, oder wenn im Falle 
mehrerer Schnittpunkte leicht zu entscheiden ist, welcher von ihnen gilt. Auch die physikalischen Formeln 
ergeben ja häufig mehrere Werthe der Unbekannten, die nicht alle physikalisch einen Sinn haben. Nehmen 
wir für die unabhängigen Variabelen x, y zwei beliebige Kurvenscharen an und konstruiren die Schnitt 
punkte für alle Werthepaare x, y, welche einen konstanten Werth Z\ der abhängigen Variabelen z ergeben, 
so brauchen wir nur die Verbindungskurve aller dieser Punkte als das Bild des Werthes z aufzufassen und 
das Analoge für die anderen Werthe von z durchzuführen, um einen Abacus der betreffenden Funktion zu 
erhalten. Man kann so jede Gleichung mit drei Variabelen graphisch wiedergeben und dabei zwei Kurven 
scharen beliebig wählen; die dritte ist dann dadurch bestimmt. (Derartige Tafeln sind sehr häufig; jede 
Erdkarte mit Isohypsen, Isothermen etc. bietet ein Beispiel hierfür.) Am nächsten liegt es, für jene beiden 
Scharen von Kurven rechtwinklig gekreuzte Parallelen zu nehmen. Solche Tafeln finden sich in grosser An 
zahl in dem bereits genannten Buch von Vogler. Ausser der allgemeinen Anwendbarkeit hat die Methode 
noch den Vorzug, dass man ohne besondere Manipulationen den Funktionswerth direkt aus der Figur ab 
lesen kann. Dagegen ist es schwierig, richtig zu interpoliren. Die Werthe der unabhängigen Variabelen 
können zwar sicher genug interpolirt werden, da es sich hier nur darum handelt, Abstände von parallelen 
Geraden nach dem Augenmaass einzutheilen; den Funktionswerth aber muss man mit Hülfe des Abstandes 
zweier Kurven schätzen, der sich nach allen Richtungen hin ändert. Will man hier Unsicherheiten ver 
meiden, so ist man oft genöthigt, sehr viele Kurven auszuziehen, was sehr umständlich ist, besonders, wenn 
diese punktweise konstruirt werden müssen. Um so brauchbarer ist deshalb ein Spezialfall, wo man von 
der Konstruktion dieser Kurven gänzlich absehen kann, weil sich jede einzelne von ihnen direkt durch 
einen einfachen Mechanismus reproduziren lässt. Dieses ist dann der Fall, wenn alle Kurven der Schar 
kongruent sind und die Lage jeder einzelnen schon durch ein Werthepaar der unabhängigen Veränderlichen 
vollkommen bestimmt ist. Man kann dann nämlich die betreffende Kurve ein für alle Male auf ein Trans 
parent zeichnen und braucht nur dieses in entsprechender Weise auf dem Abacus zu verschieben. Die jedes 
malige Lage der Kurve entspricht dann einem bestimmten Funktionswerthe, den man im Schnittpunkte der 
Kurve mit einer festen Kurve der Tafel aufzeichnet. Ein Beispiel hierfür bietet der Abacus für die Re 
duktion einer Skalenablesung auf ihren Winkelwerth (s. Tlieil II), wo sämmtliche Funktionskurven gerade Linien 
durch einen Punkt sind, sich also leicht durch einen Faden, der in diesem Punkt befestigt ist, herstellen 
lassen. Durch die Einführung der Messkurve zur Ablesung der Funktionswerthe sind wir bereits zur Dar 
stellung einer Variabelen durch Punkte übergegangen. 
Sollen Funktionen von mehr als zwei Variabelen in einer graphischen Tafel mit Kurvenscharen wieder 
gegeben werden, so kann dies durch wiederholte Anwendung der obigen Methode erreicht werden. Zwei 
Scharen für die Variabelen x und y bestimmen eine Schar für eine Funktion /) (xjy), diese Schar bestimmt 
mit der Schar einer dritten Variabelen z eine neue für eine Funktion f, [z/f {x ! yj\, die man wieder mit einer