Adolf Schmidt: Mathematische Entwickelungen etc. 
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Durch Vergleichung der beiden vorstehenden Reihen mit den für V und Z durch Gleichung (18) und (21) 
-des ersten Abschnitts gegebenen Entwickelungen finde ich mit Weglassung der zu jedem Buchstaben 
gehörigen gleichen Indices n und m 
g = qc+py h = qs+pa 
j = —(n+1) * c + n tc y k — —(w+1) xs + nrt <s 
Aus diesen Gleichungen folgt 
für n 7t q + (n+l)p% <= 
^ jc = A ((ra+1) xg + qj) s = A ((»+1) xh+qlc) 
| y — A (n n g—pj) er = A (n nh—p Je) 
Wie ich schon früher hervorhob, ist es etwas bequemer für die numerische Rechnung, die Faktoren 
p und q mit den Koeffizienten y, ß und c, s zu vereinigen; ich will deshalb die Formeln unter der Voraus 
setzung, dass dies geschehen sei, gleichfalls aufstellen. Um die bereits überreiche Menge von Bezeichnungen 
nicht noch weiter zu vermehren, schreibe ich statt p y, p tf, qc, qs einfach y, er, c, s. Es ist dann 
(21) 
für n- + (n-j-1)— =-4- 
p K ' q ö 
c = d((n+l)~g+j} 
r = 
= ä((»+i)|-a+ä) 
= <5 (njh-Jc'j 
Hierdurch ist die Lösung der Aufgabe im Falle der Existenz eines Potentials der ganzen Kraft erledigt. 
Im entgegengesetzten Falle kann nur ein Theil der Kraft auf ein Potential zurückgeführt werden, wobei 
indessen, wie sich früher zeigte, eine gewisse Willkür möglich ist. Zunächst ist klar, dass diejenigen 
Bestandtheile von Z7 und W, welche nicht in der Form von Kugelfunktionen erhalten wurden, — also 
/(v, }.) und sin v g (v) X — ausser Acht gelassen werden müssen, weil sie am Pol, bezw. am Anfangsmeridian 
die Werthe von X und Y unstetig machen. Wenn nun im übrigen U 0 = W 0 +tf>(v) ist, wobei wieder 
tp (v) den von X unabhängigen Theil von U bezeichnet, so wird man natürlich V = bl7 0 setzen. Ist dies 
jedoch nicht der Fall, so muss für V ein mittlerer Werth angenommen werden, bei dessen Festsetzung der 
Erwägung nach Zweckmässigkeitsgründen ein gewisser Spielraum bleibt. Nach den Prinzipien der Aus 
gleichungsrechnung wäre zu verlangen, dass die über die ganze Erdoberfläche erstreckte Quadratsumme 
der Abweichungen zwischen den beobachteten (oder, was dasselbe ist, aus U und W folgenden) und den 
aus V berechneten Werthen von X und Y ein Minimum sei. Die Aufgabe, V dieser Bedingung gemäss 
zu bestimmen, kann, wenn auch in ziemlich umständlicher Weise, mit Benutzung der Reihenentwickelungen 
für X und Y gelöst werden; auf der bisher gewonnenen Grundlage, welche sich auf Xsinv und Ysinv 
stützt, scheint die Lösung grösseren Schwierigkeiten zu unterliegen. Dagegen lässt sich eine andere 
Bedingung leicht erfüllen, nämlich die, dass V selbst von U 0 und von W a -\-tl> (v) möglichst wenig abweichen 
soll, wobei die Gesammtabweichung natürlich wieder durch die Quadratsumme der Einzeldifferenzen gemessen 
wird. Man erkennt sogleich, dass diese Bedingung auf das arithmetische Mittel von U 0 und W a +ip (v) 
führt und also eine sehr einfache Lösung giebt. Es lässt sich wohl annehmen, dass wenigstens bei den 
Mittelwerthen der erdmagnetischen Kraft beide Ausgleichungsmethoden zu nahe übereinstimmenden Resultaten 
führen werden. Wenn somit auch die erste einerseits die beste Ausgleichung der Beobachtungsfehler und 
andrerseits die Zurückführung eines möglichst grossen Theils der erdmagnetischen Erscheinungen auf ein 
Potential bewirkt, so wird doch die zweite kaum wesentlich dahinter Zurückbleiben, und da sie früheren 
Bemerkungen (S. 17) zufolge ebenso berechtigt wie jene ist, so dürfte sie wegen ihrer viel grösseren Ein 
fachheit den Vorzug verdienen.