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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte — 1889 No. 3 — 
Mit Hülfe der zweiten dieser Formeln findet man nun, wenn eine Funktion U, durch die Gleichung 
(10) 
gegeben ist 
(11) . . sin v 
U 0 = PlXQlcosml + HlsinmX.) = IP^I 
dU n 
dv 
n (Wd ic _1 -(«+2) (n+i) m jc +1 ) 
Liessen sich die Grössen F so bestimmen, dass die vorstehende Reihe mit der Xsinv darstellenden 
identisch würde, so wäre U — U 0 . Dies ist thatsächlich möglich; aber im allgemeinen würden, wie man 
sich leicht überzeugt, die F mit wachsendem n immer grösser werden, so dass sich eine vollkommen 
unbrauchbare Reihe ergäbe. Der ins Unendliche fortschreitende Theil derselben lässt sich indessen, ähnlich 
wie bei der Entwickelung von W 1 in geschlossener Form darstellen. 
Da die folgenden Betrachtungen die Summen von der Form (B’^cos mX + C™ u sin mX) ungeändert lassen, 
so führe ich der Kürze halber dafür die einfache Bezeichnung A” ein. Aus demselben Grunde habe ich 
kurz zuvor F” anstatt (6?", cos mX + -ff", sin m?.) geschrieben. Setzt man also überall — und bei der Aus 
führung der Zahlenrechnung wird man dies thun — an Stelle von M," und F” entweder ü” und G“ oder 
G n m und Ff”, so erhält man wiederum richtige Gleichungen. C” und kommen natürlich überhaupt 
nicht in Betracht; will man sie der formellen Gleichmässigkeit halber einführen, so giebt man ihnen 
sämmtlich am einfachsten den Werth Null. 
Für U — U 0 würde, wie bemerkt, die rechte Seite der Gleichung (9) mit Xsinv übereinstimmen. 
Durch Vergleichung der Koeffizienten entsprechender Kugelfunktionen erhielte man alsdann eine Anzahl von 
Gleichungen, sämmtlich von der Form 
(12) (n-l)2C _1 -(»+2)(»+l)„J^ +1 
Sind umgekehrt diese Gleichungen erfüllt, so gilt U — TJ 0 . Nun ist zunächst leicht zu beweisen, dass 
F2~ 1 <LF™ +1 <LF™ +S <L- ■ ■ wird, wenn von einem bestimmten Werthe des n an alle A n m verschwinden. 
Es folgt dies daraus, dass allgemein, sobald nur (n+m) mindestens den Werth 3 hat, (n—\)'>(n+2) (n+l) m 
ist. Eine brauchbare Entwickelung von TJ erhält man also nur dann, wenn F™~ 1 = 0 ist, in welchem 
.Falle auch FZ +1 = i’” +3 = ... =0 wird. Es ergiebt sich somit Folgendes. Wenn Xsinv durch eine 
endliche Reihe gegeben ist, welche mit der Kugelfunktion r-ten Ranges abbricht, so lässt sich ü entweder 
durch eine ebenfalls und zwar schon mit der Funktion des (v—l)-ten Ranges endigende Reihe darstellen, 
oder aber durch eine unendliche Reihe, deren Koeffizienten sich nicht der Null nähern, sondern im Gegen- 
theil immer grösser und grösser werden. In dem zweiten Falle lässt sich nun, ähnlich wie bei der Ent 
wickelung von W, ein geschlossener Ausdruck für den ins Unendliche sich erstreckenden Theil von U 
angeben. Wird dieser Ausdruck, welcher eine Funktion von v und X ist, durch f (v, X) bezeichnet, so reicht 
U—f(v,X), welche Differenz nunmehr TJ 0 heissen soll, wie U im ersten Falle bis zur Kugelfunktion des 
(v—l)-ten Ranges. Mit dem Beweis für diese Behauptung werden sich zugleich U 0 und f(v, X) ergeben. 
Die zu einem bestimmten Werth von m gehörigen unter den Gleichungen (12) zerfallen in zwei Gruppen: 
- {m +2)(m+i) m F;;; +1 = 4;; 
{m+ i)F;;; +1 -( m +4)(m+3) m F;r* = C +2 
(m+2/j,—1) F’‘ t l+2,i ~ 1 — (m+2/j, + 2) (m+2^+ l) m *T +a '‘ +1 = -€ +2 ' 
(13) 
miC- ( ™+3) (m+2) m Fr 2 = AZ +l 
{m +2)F;: + *-(m+5) (m+4)„, F", l+i = < +8 
(111+2^-2) F;;; +2fi -*-(m+zv+D (m+2 ( i)„ l F;;; +2f ‘ = 
(m+2;i)FZ +2!i ~(m + 2!i+3) (m+2^+2) w F;Z +2fl+2 = <* +a,I+1