Adolf Schmidt: Mathematische Entwickelungen etc. 
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Die für X sin v und Y sin v angegebenen Reihen müssen, da X und Y überall endlich sind, der 
Bedingung genügen, an beiden Polen den Werth Null darzustellen. Kleine Abweichungen, welche ja in der 
Tbat durch die Fehler der zu Grunde liegenden Beobachtungen und durch die bei einer endlichen Reihe 
unvollkommene Wiedergabe derselben hervorgerufen werden können, sind durch Ausgleichung wegzuschaffen. 
Unter der Voraussetzung, dass dies geschehen sei, ergeben sich für jede der Koeffizientenreihen B und D 
zwei bei beiden gleichgebildete Gleichungen, von denen ich daher nur die für B gültigen angebe: 
(7) 
0 ^ 3 ° ^35 0 ^ 231 0 ' 6435 X>0 ^ 
^uIruIrS I ß 7 I P 9 1 
0 + B -öo + 63 ^o + 429 B o + 1215 5 +• • • 
Diese Gleichungen sagen aus, dassXsmt; in jedem Pol den Werth Null besitzt. Die in ihnen auftretenden 
Koeffizienten sind die Werthe der Funktionen Po" für v <= 0 und v = n in der ersten Gleichung, von 
p2»+i v q un( j —pj“ +1 für v = n in der zweiten. 
Ich kehre zu der Aufgabe, die Integrale U und W zu berechnen, zurück. Bezüglich des letzteren 
ergiebt sich sofort 
(8). . W = -(Z> o °+Z> o 1 P o I +.Z) 0 2 P o 2 +- ■ ■) >-+XIP! (E'L cos ml - - * I) r m sin mX) = -sinv.y {v).X+W 0 
Der den Faktor X enthaltende Bestandtheil, welcher nach den Bemerkungen zu (7) an den Polen 
verschwindet und daher als Produkt aus sin v und einer überall endlichen Grösse q> (v) X geschrieben werden 
kann, ist eine durchgehends endliche und, wenn X auf die Werthe von 0 bis 2zr beschränkt wird, eindeutige 
Funktion, die am Anfangsmeridian (doch nicht längs desselben) unstetig wird. Er kann daher nach Kugel 
funktionen entwickelt und mit W Q vereinigt werden, wobei an der Unstetigkeitsstelle das Mittel der beider 
seitigen Grenzwerthe Darstellung findet. Eine solche Entwickelung wäre aber unbrauchbar, weil ihre 
Koeffizienten nicht gegen Null konvergiren, so dass die numerische Rechnung darnach unausführbar wird. 
Die in (8) gegebene Zerlegung von W ist daher nothwendig. Die dabei auftretende, als {v) bezeichnete 
Funktion kann übrigens, wie man leicht einsieht, auch aus der Entwickelung von Y gewonnen werden. 
Es ist 
cp(v) = ¿ 0 »+i„ , P o 1 + Ä 0 ! P o 1 + 
Nicht ganz so einfach gestaltet sich die Ermittelung von U. Es ist zunächst klar, dass zwischen den 
Koeffizienten der beiden Reihen für U und X keine einfache Beziehung bestehen kann. Dagegen scheint 
eine solche Beziehung möglich, wenn man Xsinv an Stelle von X einführt. Dies liegt daran, dass in 
jeder nach Kugelfunktionen fortschreitenden Entwickelung cos mX oder sin mX immer gerade mit der m-ten 
Potenz von sinv multiplizirt auftritt, welcher Faktor bei der Integration oder Differentiation nicht erhalten 
bleibt, sondern in übergeht. (Bei der letzten Angabe ist der Fall, dass im Integral der Bogen v 
selbst auftritt, ausser Acht gelassen.) 
Um nun Z7 aus Xsinv abzuleiten, bediene ich mich einer Identität, die ich nebst zwei anderen später 
gebrauchten hier ohne Beweis, da ein solcher zu weit führen würde, angeben will. Soweit dieselbe für den 
vorliegenden Zweck Anwendung findet, also für die ersten Werthe von n, kann sie durch Substitution der 
bekannten trigonometrischen Ausdrücke an Stelle der Kugelfunktionen leicht verifizirt werden. Es ist 
für (ri) m 
n 2 —m 2 
4 ri 1 —1 
(9).. 
d {sin v P”) 
dv 
- —n + (n+1)P” +1 = -(n+l)(n) m lT 1 + nK +1 
sinv 2 P: = +