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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte — 1889 No. 3 — 
Um den Zusammenhang nicht zu unterbrechen, gehe ich zunächst nicht auf die Frage ein, in welcher 
Weise die Entwickelung der verschiedenen Elemente nach Kugelfunktionen am zweckmässigsten vorzunehmen 
sei, sondern setze vorläufig die nöthigen Reihen als gegeben voraus. 
Wie aus den folgenden Ausführungen hervorgehen wird, müssen die Grössen Xsinv, Ysinv und Z 
nach Kugelfunktionen entwickelt werden; es ist dagegen nicht nothwendig, X und Y selbst in dieser Form 
darzustellen. Da indessen diese letzteren selbständiges Interesse darbieten, da sie überdies Verwendung 
finden können und endlich ohne gar zu grossen Mehraufwand von rechnerischer Arbeit zu ermitteln sind, 
so will ich sie gleichfalls mit in Betracht ziehen. 
Unter Benutzung der durch die Gleichungen 
n = V til = il 
n, — 0 tn = 0 
definirten Abkürzungen sei 
und = P n m (cosv) 
(6) 
X = ~>~ PI cos mX + c" sin mX) 
Y = XI P? n (C cos m ^ + e Z sin m P) 
z = 21 PI (jZ cos mX + h n m sin mX) 
x sin v — XL BZ {BZ cos m/ - + BZ, s ' Ln wA) 
Y sin V = PI {BZ cos m ^ + BZ s ^ n 
Im Falle der Existenz eines Potentials stellen die beiden Integrale 
W = —J Y sin 
v dX 
wenn dem zweiten der von X unabhängige Theil des ersten, ip (v), hinzugefügt wird, eine und dieselbe Funktion, 
welche eben das Potential ist, dar. Soll nun die Voraussetzung, dass ein solches besteht, nicht eingeführt 
werden, so ist eine getrennte Berechnung von U und W geboten. Der Darstellung des Ganges, den diese 
Berechnung zu nehmen hat, schicke ich noch eine aus der Natur der zu Grunde liegenden physikalischen 
Aufgabe fliessende Bemerkung voraus. Die horizontale Komponente der erdmagnetischen Kraft hat überall 
einen endlichen, eindeutigen Werth und, wo dieser nicht gleich Null ist, eine bestimmte Richtung; sie ist 
ferner überall stetig veränderlich. (Starke lokale Störungen, welche auf kleine Gebiete beschränkt sind, 
sind hei einer die ganze Erdoberfläche umfassenden Betrachtung natürlich als ausgeglichen anzunehmen; 
sie würden, wollte man sie berücksichtigen, angenähert wie Unstetigkeiten wirken.) Daraus folgt, dass 
X und Y überall endlich und, ausser an den Polen, stetig sind. In der Nähe des Nordpols sind diese 
Komponenten beziehungsweise von der Form (a cos X-\-h sin X), (—b cos X-j- a sin /); am Südpol nähern sie 
sich den Werthen («' cos X-\-V sin X), {b'cosX—a'sin X), wobei a, b, a', V gewisse Konstanten bezeichnen. 
Die zur Darstellung von X und Y in (6) angegebenen Reihen können diese an den Polen unstetigen 
Grössen nur daun genau ausdrücken, wenn sie ins Unendliche fortgesetzt gedacht werden. Um mit einer 
endlichen Gliederzahl eine Darstellung zu gewinnen, deren Annäherung sich beliebig weit treiben lässt, 
muss man einen die Unstetigkeit enthaltenden Ausdruck, etwa 
a—a' 
2 
cos v i 
cos X + 
b—V 
2 
cos V 
sin X 
(a+a'cos v) cos X + {ß+ß' cos v) sin X 
von X, sowie einen entsprechenden, (a'+ a cos v) sin X — {ß' + ß cos v) cos X, von Y absondern. Dieser Aus 
druck enthält keine Kugelfunktionen, er lässt sich aber nach solchen in eine unendliche Reihe entwickeln, 
deren Koeffizienten sich nicht der Null, sondern denjenigen von X, bezw. Y nähern.