Adolf Schmidt: Mathematische Entwickelungen etc. 
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Ich habe nun die Berechnung der bezeichneten Koeffizienten ausgeführt und zwar für die Funktionen 
der ersten 6 Ordnungen. Die Resultate sind in den nachstehenden Tabellen zusammengestellt. Da man 
bisher bei der Potentialbestimmung über die Glieder vierter Ordnung im allgemeinen nicht hinausgegangen 
ist, und da andrerseits der einzige Versuch, noch die Kugelfunktionen fünfter Ordnung zu berücksichtigen, 
gezeigt hat, dass auf diesem Wege keine wesentliche Verbesserung zu erreichen ist, so dürften die hier 
mitgetheilten Werthe auf lange Zeit hinaus mehr als ausreichend sein. 
Auf die Frage, welche Grösse der Abplattung der Berechnung zu Grunde zu legen sei, habe ich mich 
dahin entschieden, den aus verschiedenen Gründen noch immer vielfach angewandten Bessel’schen Werth 
zu benutzen, d. h. a = 299.1528 zu setzen, gleichzeitig aber durch Angabe passender Hülfsgrössen den 
Uebergang auf jeden andern Werth der Abplattung zu erleichtern. 
Zur Erläuterung der Tabellen genügen einige kurze Bemerkungen. Da sich dieselben ohne irgend 
welche Abweichung auf alle vier Zahlentafeln beziehen, so will ich mich einer zusammenfassenden Bezeich 
nung bedienen; ich will, statt die Grössen p, n, q, x stets einzeln zu nennen, den Buchstaben 2 für jede 
derselben ohne Unterschied gebrauchen. 
Die den Kopf der Vertikalspalten einer jeden Tafel bildenden Zahlen 0,1. . . 6 bezeichnen den obern 
Index n, die gleichen am Anfang der einzelnen Zeilen stehenden den unteren Index m. An der durch das 
Zusammentreffen der Vertikalspalte n und der Horizontalreihe m gekennzeichneten Stelle befinden sich 
stets drei Zahlen. Dieselben stellen die mit Benutzung der Bessel’schen Abplattungszahl berechneten 
Werthe von 
,» ££ i VC 
da 2 da 1 
dar — und zwar die beiden letzteren in Einheiten der sechsten Dezimalstelle der ersten. Will man also 
z” für irgend einen andern Werth der Abplattung, der durch 1 : (299.1528+Aa) dargestellt sei, finden, so 
braucht man nur mit Hülfe der aus der entsprechenden Tafel entnommenen Zahlen die Summe 
£ + 
de 
da 
A a + - 
da 2 
(A a) 2 
zu berechnen; dieselbe stellt den verlangten Werth dar, und zwar, so lange A« absolut genommen nicht 
grösser als 10 ist, bis auf einen Fehler von höchstens einer Einheit der sechsten Dezimalstelle. (Nebenbei 
sei bemerkt, dass eine derartige Hülfsrechnung die Werthe der Koeffizienten p, n:, q, x auch für Punkte, 
die nicht in der Erdoberfläche, sondern nur nahe derselben liegen, abzuleiten gestattet. Es leuchtet dies 
ohne weiteres ein, wenn man bedenkt, dass jene Koeffizienten nicht von der absoluten Grösse, sondern nur 
von der Abplattung des Ellipsoids abhängen und dass letztere für jedes der Erdoberfläche konfokale Ellipso'id 
einen verschiedenen Werth besitzt. Die hier mitgetheilten Zahlentäfeln reichen daher für die Berechnung 
des Potentials und der Kraftkomponenten an allen Punkten, an denen magnetische Messungen ausgeführt 
werden können, vollkommen aus.) 
Ich lüge noch einige Bemerkungen über die Berechnung der Tabellen hier an. Die Grundlage der 
selben wird natürlich durch die Definitionsgleichungen (5), (14), (16) und (20) gebildet. Das in diesen 
allgemein durch x bezeichnete Argument wird hier ib : e oder i : e, also rein imaginär. In den unendlichen 
Reihen, welche p, n, q, x darstellen, kommen indessen nur gerade, negative Zahlen als Exponenten von x 
vor, so dass am besten ar -2 als Argument eingeführt wird. Da i*r~ 2 = ■—s 2 — —(2 a—1) : (a—l) 2 ist, so 
ergiebt sich bei Benutzung von Bessels Abplattungszahl 
x- 2 = —0.006 719 218 7 
Die Berechnung der nach a genommenen Differentialquotienten von p, n, q, x geschah mit Hülfe der 
zur Definition dieser Grössen selbst dienenden Reihen durch Einführung der leicht abzuleitenden Werthe 
/7 /v>—2 1 /72 /y>—2 
= +22.574.10~ 6 4- j- = -0.07584.10-« 
da 2 da 1