Adolf Schmidt: Mathematische Kntwickelungen etc. 
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(9) X= - 
dV 
dx 
i. 1Z 
r a du 
1 d V 
r 0 sin u. d ?. 
Z 
dV dV 
dz dr 
(r = r 0 ) 
Die Lage der Axen, auf welche sich diese Komponenten beziehen, hängt von der Gestalt der Erd 
oberfläche ab. Wenn daher deren Abweichung von der Kugelgestalt berücksichtigt werden soll, so erleiden 
die vorstehenden Gleichungen (9) (falls die Erde als Rotationskörper angesehen wird nur die erste und 
dritte) gewisse, leicht anzugebende Aenderungen. Alle übrigen Entwickelungen behalten jedoch, da sie nur 
die allgemeinen Sätze der Potentialtheorie darstellen, auch dann ihre Gültigkeit, wenn die Abplattung der 
Erde in Betracht gezogen wird. Nichtsdestoweniger wäre es unzweckmässig, sie in diesem Falle zu benutzen, 
und zwar deshalb, weil die Gleichung der ellipsoldischen Erdoberfläche in sphärischen Koordinaten keine 
einfache Gestalt annimmt, so dass der Uebergang von diesen auf die geographischen Koordinaten umständliche 
Transformationen nöthig macht. Schwerer noch ins Gewicht fällt der Umstand, dass die beiden Theile des 
Potentials, welche in Gleichung (7) getrennt erscheinen, die einfache Bedeutung verlieren, den Einfluss der 
innerhalb und der ausserhalb der Erdoberfläche befindlichen magnetischen Massen gesondert darzustellen. 
Durch Einführung elliptischer Polarkoordinaten lassen sich die geschilderten Nachtheile vermeiden. 
Diese Koordinaten werden durch die Gleichungen 
(10) J = rcosv tj = Vr' l -\-e l sinv cos X £ = ]/r 2 +e 2 sinv sin X 
definirt, in denen e eine Konstante bezeichnet. Alle Punkte, für welche r den gleichen Werth besitzt, 
erfüllen die Oberfläche eines Umdrehungsellipsolds, dessen Polarhalbmesser r und dessen Aequatorealhalb- 
messer pr 2 +e 2 ist. Die zu verschiedenen Werthen von r gehörigen Flächen sind somit sämmtlich konfokal. 
Zu ihnen gehört auch die Erdoberfläche, welche, wenn ihre Rotationsaxe 2 b ist, durch die einfache 
Gleichung r — b charakterisirt wird. Für die Punkte dieser Fläche gehen X und v in die geographische 
Länge und das Komplement der sogenannten reduzirten Breite über, welch’ letztere in einfacher Beziehung 
zur geographischen Breite steht. Wird diese wieder wie bei der Kugel durch (90°—u) bezeichnet, und 
wird der Aequatorealdurchmesser, welcher dem zuvor Gesagten zufolge gleich Vb 2 +e 2 ist, a genannt, so ist 
(11) citgu = btg v 
Eine ganz ähnliche geometrische Deutung lassen natürlich auch die Koordinaten jedes andern Punktes 
zu; es tritt nur an die Stelle der Erdoberfläche das derselben konfokale, durch jenen Punkt gelegte Ellipsoid. 
Die Gleichung (11) geht dabei in die folgende über 
(12) kV 2 +e 2 tg u = rtgv 
Aus dem in elliptischen Polarkoordinaten ausgedrückten magnetischen Potential ergeben sich die drei 
Kraftkomponenten X, Y, Z vermittels der Gleichungen (2) unter Berücksichtigung der bekannten Eigen 
schaften des Umdrehungsellipsolds. (Wegen dieser, wie auch zur Begründung von (11) ist auf die Lehr 
bücher der Geodäsie, z. B. auf „Helmert: Die mathematischen und physikalischen Theorien der höheren 
Geodäsie“ zu verweisen. Die hier interessirenden Formeln (13) finden sich auch in „Heine: Handbuch 
der Kugelfunktionen“ auf Seite 328 angegeben.) Auf dem Ellipsoi'd, dessen Rotationsaxe 2r und dessen 
zweite Axe 2 Vr 2 -\-e 2 ist, hat der zur reduzirten Poldistanz v gehörige Parallelkreis den Radius sin v yV 2 +e 2 , 
und das der Breitenänderung dv entsprechende Element des Meridians beträgt in dem gleichen Polabstand 
dv Vr 2 -j-e 2 cos v 2 . Ebendort ist der normale Abstand des Ellipsoids von dem ihm unendlich benachbarten, 
dessen Polarradius (r-\-dr) ist, gleich dr jV 2 +e 2 cos v 2 : Vr 2 -\-e 2 . Somit hat man 
dx = —dv Vr 2 ~j-e 2 cos v 2 dy — dX sin vVr 2 -ye 2 dz = —drVr 2 -\-e 2 cos v 2 : pr 2 +e 2 
und für die Komponenten der Kraft erhält man demzufolge 
(13) x= r=—W" 0/ 
Vr 2 +e 2 cosv 2 d v sin v Vr 2 +e 2 dl y r 2 -\-e 2 cos v 2 dr 
Durch Einsetzung des speziellen Werthes b an Stelle von r gewinnt man hieraus die an der Erdober 
fläche geltenden Werthe.