Pollak, L, W.: Zur harmonisch, Analyse empirischer, durch eine große Zahl gegebener Ordinaten usw. 345
wobei
(24)
Ri
Wk
Die Summen auf der rechten Seite in den Gleichungen (23) lassen sich in
zwei Summen spalten, von denen die eine nur die geraden, die andere nur die
ungeraden Ordinaten — so wollen wir der Kürze wegen die gerad- oder ungerad-
zahlige Indizes besitzenden Funktionswerte nennen — berücksichtigt:
uno + Su 0@i— 1) A
| M pk 1 Zu21.008 i— + Zu 1 zZ
i=m—1 kw ‚diem ‚oo: 5 km
Mgk ‚Zuzı sin 2i B + Zu21—18in Zi 1}
Diese Zerlegung ist deshalb so bedeutungsvoll, weil jede der rechts vor-
kommenden Summen durch die harmonischen Konstituenten der halben Anzahl
der Ordinaten, nämlich der geraden bzw. ungeraden Funktionswerte allein aus-
gedrückt werden kann,
Zu diesem Behufe werden von den 2m gegebenen Ordinaten zunächst die
m Funktionswerte Ugy Uoy Uay 000 «40453 Uom—2
hernach die restlichen m Ordinaten 1,, Uz, Usy 0 ++ +4. 43 Uam—1
durch eine Fourier-Reihe dargestellt. mn
Wir beschränken zunächst k auf Werte, die kleiner als 3 Sind, und erhalten
dann als Ergebnis der Analyse der geraden Ordinaten:
m i=m—1 km
% px“ = Zi cos 2i m“
i=m—1
Ed = 2 u216in 2A,
u‘
Die harmonischen Konstituenten der ungeraden Ordinaten finden wir aus den
Gleichungen
1= m
z PH Sn 0000— 1) FE
1=m DH 2k
| > ak” =Zu2i—1 sin (i — 1) A,
Nun erkennt man, daß die in (23’) auf der rechten Seite vorkommenden ersten
Summanden identisch sind mit den in den Gleichungen (25) auftretenden Summen,
Weiter können die zweiten Summanden durch die Summen der Gleichungen (26)
in folgender Weise dargestellt werden. Wir bilden aus (26)
m „km 15m . 2kz kx Lt . kx
37 Pk" 008 7 > 2 2 1— 1.008 (1 — 1) — 400877 = 4 32110068 (2i— 1) +
St ei—3 kz
—1 608 (2i— 3) —
+ + SZ u21— )
Mm km _ Am en Zum km 150 ‚m kz
3 dk” sin — = Zu2i—1 sin (1 — 1) —_— in = 4 „Yü2i—1008 (2i 3) =
im kz
— _ 2i— 1) 2
+ Zu21 ı cos (2i ) zn
und analog
m na km om N
5 Pk” sin > 3 u21—1 cos (1— 1) 7 = 3 Zuzi— 1 sin ei—1) m
$ Yuzı—ı sin (2i — 3) Az
4=1 m
mM kz im ed 2kx kz 1= m DR kz
5 Ik 008 == 33 ü21—1 8in (1 — 1) — + 008 = 4 3 u21—1 Bin (Zi— 1) m +
1=m in@i—3 kr
— x — d) — >
+4 Zn 1 8in (21 } mn
Durch Subtraktion der beiden Gleichungen (27) erhält man den zweiten Sum-
manden in der ersten Gleichung von (23), durch Addition der Gleichungen (28)
