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Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, August 1926,
Die eben mitgeteilten Formeln werden leicht aus den elementaren Eigen-
schaften des cos und sin erhalten, z. B. das erste negative Vorzeichen unter p
aus der Ungleichung 2x i> zZ weil im zweiten Quadranten der cos negativ ist.
Diese Ungleichung liefert i > - Ist also n ungerade und von der Form 44u—I1,
so ist j>tmat zu nehmen. Man hat also zu 4u-—1 im Zähler nur 1 hinzuzu-
fügen, um eine ganze, durch 4 teilbare, von Null verschiedene Zahl für i zu
erhalten. Wenn n=4x + 1 ist, liefert a die Nummer der Ordinate, bei welcher
das erste negative Vorzeichen auftritt usw, .
Im übrigen sind die besprochenen Beziehungen auch aus der geometrischen
Anschauung einleuchtend. Ist nämlich beispielsweise n ungerade, so wird der
volle Kreis 2x in eine ungerade Anzahl von Teilen geteilt, und durch den Radius,
dessen Anomalie x beträgt, wird erstmalig einer der n Teile biseziert. Bei einer
geraden Anzahl von Ordinaten n = 2m (durch 4 nicht teilbar) wird x in m Teile
geteilt und ein Teil wird durch den unter 90° gegen die Ausgangsrichtung orien-
tierten. Radius halbiert,‘ Es entsprechen also Ze SA — Blatt) Teile
und dem im zweiten Quadranten liegenden Endpunkt des 90° umschließenden
. 21.2 20#4+0+42 n+2 _. .
Teiles entspricht i = A —— = — zz, Wie oben in Formel (14). Beträgt end-
lich die Anzahl der gegebenen Ordinaten 4 m, so entfallen auf > m Teile, der
eine Endpunkt des m-ten Teiles fällt mit dem Radiusvektor von 90° zusammen;
darum treten bei allen durch 4 teilbaren Ordinatenzahlen („Wellen“) bei i = m,
2m, 3m, in den Wendepunkten die Werte 0, —1, 0 bzw. 1, 0, —1 auf,
Unter Berücksichtigung der vorstehenden Formeln gestaltet sich also die
Beantwortung der Frage, wie viele Multiplikationen und mit welchen Fak-
toren bei Berechnung der Konstanten der Fourierschen Reihenentwicklung aus-
zuführen sind, wie nachstehend: Zunächst wird festgestellt — unter Benutzung
der Formeln (6), bzw. (7) oder (8) —, wie viele Multiplikationen überhaupt er-
forderlich sind, dann mit Formel (20), bzw. (21) oder (22), von welcher Ordinate
angefangen eine Wiederholung der cos und sin, wenigstens ihrem absoluten Betrage
nach, stattfindet. Schließlich untersucht man bis zu diesem Exponenten i die
Potenzen der n-ten Einheitswurzel; drückt man die Wurzel in kleinsten Zahlen
aus, d. h. kürzt man den gebrochenen Exponenten der als Potenz dargestellten
Wurzel so weit als möglich, so erhält man Auskunft, ob nicht schon bei einer
geringeren Anzahl von gegebenen Funktionswerten irgendeiner. der benötigten
cos iz oder sin iz in Tafel I vorkommt, ;
Wir behandeln, um diese Anweisung zu erläutern, einen in Tafel I der „Rechen-
tafeln zur harmonischen Analyse“ vollständig erledigten Fall, so daß die gefundenen
Resultate leicht überblickt werden können. Sind n = 39 Ordinaten der empirischen
Funktion durch die Besselsche Formel darzustellen, so benötigt man, da nur
einfache Symmetrie bei ungeradem n stattfindet, gemäß Formel (6), 19 cos- und
19 sin-Werte, Die Faktoren der u sind der reelle bzw, imaginäre Teil der nach-
stehenden Potenzen: Yu Yız Yız, _—_ yır. In dieser Schreibweise erkennt man
sofort, da Yı?= Vi, yı= VI = VI VaB= VS VıB fi, YıB= VO,
daß unter den zweimal 19 Faktoren zweimal 6 bei früheren „Wellen“ bereits Ver-
wendung fanden, eine Tatsache, die deutlich durch die niedrigen Tabellennummern:
Tab. 29, 30, 31, 32, 33, 34 bzw. Tab. 35, 36, 37, 38, 39, 40, welche auf „Welle“ 13
(n = 13) und „Welle“ 3 (n = 3) hinweisen, zum Ausdruck kommt.
II.
Tafel II der „Rechentafeln zur harmonischen Analyse“ bringt auf 120 doppel-
seitigen Tabellen die ersten Tausend Vielfachen aller für n = 3 bis n == 24, bzw.
26, 28, 30, 34, 36, 38 benötigten sin- und cos-Werte, Gerade durch die Tabellen
der Tafel II wird es möglich, die Ermittlung der Konstanten der Fourierschen
