Di. Karl-Heinrich Wagner: Die unechten Zylinderprojektionen.
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1. Abschnitt
Die Lösung der transrendenten Hilfsgleichungen der Entwürfe
mit Hilfswinkel auf graphischem Wege
Schon Eckert hat erkannt, daß für die Lösung der transzendenten Hilfsgleichungen bei seinen flächentreuen
Netzen ein graphisches Verfahren sehr nützlich sei. Er hat für diese Hilfsgleiehung bei seiner Projektion VI
(y> -f- siny = c sin93) ein Verfahren beschrieben, das sich für alle derartigen Gleichungen bei unseren Netzen
anwenden läßt.
Der Verfahren ist im Prinzip folgendes:
Unsere Hilfsgleichungen sind von der Form
ay> + gM = tW)
wobei cif durch f allein oder durch 2 f vertreten ist. g{y>) ist eine transzendente Funktion von f, und zwar sin f
oder sin2y. /(9?) ist eine transzendente Funktion von q> und zwar c sin 9p, wobei c irgendeine Konstante ist. Gesucht
ist der zu einem bestimmten Wert cp x gehörige Wert von f v Der Hilfswinkel ist des öfteren auch mit t bezeichnet.
InAbb. 18 sind auf der Abszissenachse die Werte von f(<p) aufgetragen. Ferner ist in demselben Maßstabsverhältnis
die Funktion g(f) graphisch dargestellt. Wenn man jetzt auf der Abszissenachse einen bestimmten Wert von
/(95) = /(9^) — OA abträgt, von A unter 45° nach links oben bis B geht, und von B auf die Abszissenachse das
Lot fällt, dann ist OC = af v CA — g(f x ) und die Summe beider OA = Man kann also den zu <p 1 gehörigen
Wert y> 1 in C auf der Abszissenachse ablesen.
Wie diese Konstruktion praktisch am besten auszuführen ist, soll an Hand eines Beispiels gezeigt werden. Es soll
eine Projektion für den Atlantischen Ozean im Maßstab 1:100 Mill. entworfen werden 1 ). Als Projektion ist z. B.
die flächentreue Mollweide-Projektion mit Pollinie in transversaler Lage gewählt worden. Wir wollen bei diesem
Beispiel gleich den Fall durchführen, daß ein flächentreuer Entwurf nicht bis zum Pol, sondern nur bis zu einem
bestimmten Parallelkreis ausgedehnt wird.
Für den Atlantischen Ozean genügt es, wenn eine Zonenbreite von 2mal 65° angenommen wird. Wir finden
auf S. 32 u. 33 f. dargestellt, in welcher Weise in einem solchen Fall die Konstanten für den flächentreuen Entwurf
zu ermitteln sind. Man wird hier am besten auf Fall 3, S. 34 zurückgreifen. Als längentreuen Parallelkreis nehmen
wir cp 0 = 35° an. Wir haben anzusetzen
Nim haben wir
n —
71 COS (f 0
I n 2 - - ■ 3 9P 0 2
n cos 35°
Irr 2 — 3 arc 2 35°
= 0,86996..
n-m ■
71 Sin
f f (t, n) g'(t) dt
Unsere Zone erstreckt sich bis <p 1 = 65°, also
n-m =
71 sin 65°
/ g'(t) dt
Wir hatten gefunden, daß f(t, 71) — nji cost; g(t) =^?sin t. Die Integrationsgrenzen bestimmen sich wie folgt:
V 3
Für cp — 0 wird 71 - sint = 0; t, = 0. Für a = 65° wird 71 - sin t = arc65°, sin t = - 3 aIC ^ , t~ ■= 38° 43' 12".
Y l/3 1 Y j/3 7t 2
Wir integrieren von £ x = 0 bis t 2 ----- 38° 43' 12". Für n wird der soeben gefundene Wert n — 0,86996 . .. eingesetzt.
b Der Maßstab ist so klein angenommen, damit die nötigen Figuren nicht allzugroß werden und einigermaßen in unser vorlie
gendes Format hinein passen.
