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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte. 51. Bd. Nr. 4. 
Um noch m und zu n erhalten setzt man in obiger Gleichung y= -?» welchem Werte tp = ~ entspricht. Man erhält 
Z Z 
n ■ m — _ . „ und für m 
71 —j- Z 
■ n ; n — j... ~ ^ . Diese Werte in obige Gleichung eingesetzt, ergibt wieder 
tp r sin tp 
(n + 2) sin tp 
Anm. 2. Die Ableitung Eckerts ist folgende (Pet. Mitt. 1906, S. 102ff): 
Zu einer anderen Art von Entwürfen mit dem Koordinatensystem von 4a und 2a und den beiden Pollinien von je 2a gelange 
ich, wenn ich mir die Erdoberfläche nicht direkt auf irgendeine gegebene Ebene, wie bei den Entwürfen 1—IV, übertragen denke, 
sondern erst auf einen anderen Körper, den ich Hilfskörper nennen will. Dieser Hilfskörper mit einem der Erdoberfläche ähnlichen 
Netz wird sodann abgewickelt und in die Ebene eingezeichnet. Der für die beiden letzten Entwürfe günstigste Hilfskörper ist ein 
halber Kreisring oder halber Wulst. 
Die Rotationsachse des Kreisringes ist Taangentc des erzeugenden Kreises. Die halbe äußere Oberfläche des Kreisringes soll 
gleich der Kugeloberfläche K oder 4n ■ B 2 sein. 
Die äußere Oberfläche des Kreisringes oder Wulstes sei W. Sie entsteht durch Rotation des Halbkreises A B um die Achse d 
(Abb. 8), wobei der senkrechte Abstand des Kreismittelpunktes von der Achse r der Radius des erzeugenden Kreises ist. 
Nach der zweiten Guldinisehen Regel ist die bei der Rotation des Bogens A B um eine Achse beschriebene Fläche 11' gleich der 
Länge l dieses Bogens, multipliziert mit dem Weg des Schwerpunktes. 
Die Länge des gegebenen Kreisbogens, hier des Halbkreises l, also in unserem Falle l — rn. Der Weg des Schwerpunktes ist ein 
Kreis, dessen Radius u sei, und dessen Mittelpunkt in der Rotationsachse d liegt. Der Weg, den der Schwerpunkt beschreibt, ist 
2 nu. Es ist mithin nach der Guldinisehen Regel die Rotationsfläche W — 2 n vl. u finde ich nach folgender Regel: 
Der Schwerpunkt eines Kreisbogens von der Länge l, dem Radius r und der Sehne b liegt auf dem Mittellot der Sehne im Ab- 
t • b , 
stand j- vom Zentrum des Kreises. 
Da l = r, r = t und b in dom Halbkreis 
infolgedessen wird 
2 r ist, so wird der Abstand n des Schwerpunktes vom Zentrum des Kreises 
r•2 r 2r 
n — —— = 
rn n 
u 
, 1 2r 
r + » = r + — = t 
n 
fi") 
u = r (n + 2) 
71 
Diesen Ausdruck setzen wir in die Flächenformel des Kreisringes ein. Da l rn ist, so erhalten wir 
W ~ 2 3i • r • 7i ■ r (n 4- 2) 
71 
W = 2 r a 7i (ti -{- 2) 
Hieraus ergibt sich eine Relation zwischen den beiden Radien r und B. Sie hat die weitere Folge, daß, wenn Flächengleichheit 
vorhanden sein soll 
r 2 
4 B 2 
71 -f- 2 
oder r — 
2 B 
)fc+2 
oder r — 0,882 .. . B sein muß. 
Zum Schlüsse verbleibt mir die Aufgabe, in dem mit gleichen Meridianstreifen versehenen Netze des V. Entwurfs die Parallel 
kreise so zu rücken, daß die Projektionszonen den entsprechenden Erdzonen gleich werden. 
Schon äußerlich ergibt, daß die Kreisringfläche eine andere Form und räumliche Ausdehnung besitzt als die Kugelfläche. Irgend 
einer geographischen Breite <p der Kugel wird darum eine andere Breite y> (Eckert nennt den Winkel a) auf dem halben Kreisring 
entsprechen. Die Kugeloberfläche soll nun flächentreu auf dem halben Kreisring abgebildet werden, d. h. es muß die Kugelzone, 
die durch die Breite tp bestimmt wird, mit der halben Kreisringzone mit der Breite tp flächeninhaltlich übereinstimmen. Es wird 
demnach eine gewisse Beziehung zwischen tp und tp statthaben. 
Die Kugelzone hat den Inhalt 2 Bnh. Da die Höhe h = B sin <p ist, so beträgt die Kugelzone = 2 ß 2 ..Tsm tp. Nicht so einfach 
ist die Formel für die Kreisringzone. Um hier zu einem brauchbaren Ausdruck zu gelangen, muß man sich die Kreisringzone in 
unendlich viele kleine Rechtecke zerlegt denken, deren Grundlinie jedesmal der Umfang des unteren Zonenkreises und deren 
Höhe ein unendlich kleines Bogenstück des erzeugenden Kreises ist (Abb. 9). 
Wenn der Radius des Zonenkreises g ist, so ist der Kreis selbst 2 ttq und der Flächeninhalt einer solchen unendlich kleinen Zone 
Z i = 2-n-Q-ds. 
Da nun dtp die Breite in dem Kreisring ist, die dem Bogen ds entspricht, so ist ds — rdtp und 
Z x = 2 Tip rdtp 
Eine Zone mit dem größeren Winkel tp würde die Summe vieler solcher Elementarzonen Z x sein, also Z, ( , = 2 txJE q rdtp, worin 
sich tp von dem Werte 0 bis tp ändert.