Dr. Carl Sckoy: Arabische Gnomonik.
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Auf die Frage nach der Lage der Hauptachsen des durch XV) ausgedrückten Kegelschnitts gibt die Formel
tang 2 ip
sin a . sin 2 cp
sin 2 IX . cos' 1 cp — sin 1 cp
XVI)
näheren Aufschluß. Dabei bedeutet ip den Winkel, welchen die Hauptachsen mit unseren eingangs defi
nierten Koordinatenachsen bilden. Man erkennt aus XVI), daß im allgemeinen ein mit der
geographischen Breite wachsender Richtungsunterschied zwischen den Hauptachsen und
den Koordinatenachsen vorhanden ist. ip ist = 0, wenn entweder
ip = 0 ist oder
a — 0 angenommen wird (Ost-West-Vertikal)
Für a = 90° findet man
tang 2 iip —
xp =
sin 2 tp
sin 2 <p
COS 2 (p — sin 1 cp
cos 2 <p
tp (Nord-Süd-Vertikal).
= tang 2 g
Spezialfälle beim Déclinant:
1) Für d = 0 erhalten wir die Gleichung des Aequatorbildes. Man findet aus XIV) sofort:
y . sin <p = q . cos a . cos cp — x. sin a . cos <p ,
d. i. die Gleichung der Geraden R R', die also nicht durch den Koordinatenanfangspunkt geht, sondern die
F-Achse im Abstande MK von M durchsetzt. Für x = 0 folgt
y = MK = q. cos a . cotg cp ,
ein Resultat, welches wir bereits in IV), freilich auf ganz anderem Wege gefunden hatten.
2) Für a = 0 gibt XV:
y 2 (sin 1 cp — sin' 2 ö) — x 2 sin 1 ö — y . q . sin 2 cp + q 2 (cos 2 cp — sin' 2 S) — 0 XVII)
Uns interessiert hier vor allem der Nord-Süd-Vertikal, für den also
3) a = 90° ist.
Die allgemeine Kegelschnittsgleichung XV) gibt für diesen Fall
y 2 (sin 2 ip — sin 2 ö) — x 2 . sin 2 <5 — y . q . sin 2 cp + q 2 (cos 2 cp —■ sin 2 <5) = 0 XVIII)
Dreht man die Achsen des durch XVIII) dargestellten Kegelschnittes um den Winkel cp, d. h. ersetzt x
durch: y . sin cp -f- x. cos cp und y durch: y . cos cp — x . sin cp, so erhält man ohne Schwierigkeit die Mittel
punktsgleichung der Hyperbel
q 2 tang 2 ô
XIX)
deren Halbachsen also q . tang <5 und q sind.
Wie schon erwähnt hatte Ibn Junis zur Bestimmung des Asr diesen Cadran erwählt. Nach den
Festsetzungen des berühmten Astronomen begann das Asr bei Gleichheit von Stäbchen- und
Schattenlänge. Damit diese Bedingung eintritt, muß § = 45° sein. Aus Gleichung XI) folgt dann für
den Beginn des Asr:
sin s
sin 45°
cos d
XX)
Wie man sofort sieht, ist der Stundenwinkel s von der Breite cp unabhängig; alle Orte unter demselben
Meridian haben zu gleicher Zeit Asr.
Freilich läßt sich das Ende des Asr nicht auf den Eintritt der doppelten Schattenlänge festsetzen,
wie dies bei der Bazithah möglich war; denn man fände für diesen Zeitpunkt
1
cos d .y 5 ’
sin Si oder sin (180°—si) =