Dr. Carl Sckoy: Arabische Gnomonik.
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Mit p = g findet sich A — —2 g 4 ,
Mit p — 2 q aber folgt A — + g 4 ,
mithin liegt eine Wurzel pt dieser Gleichung zwischen q und 2 q, und zwar näher an 2 q. Der Ausdruck ß)
wird auch nahezu befriedigt für
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Die 2 anderen Wurzeln sind komplex. Den Werten für pi und p 2 kommt an der Kurve keine geometrische
Bedeutung zu.
c) Für die Wendepunkte gilt
d- y
d x 2 d q d x
Wenn man den Faktor -- = 0 setzt, so muß
d x
= 0
Hieraus folgt:
[Y' + (? — <?) 2 ]' 2 • (Q- + Q-) 2 = 0 sein.
i>i, 2 = + i q
(?3, 4 = <2 (1 ± i) •
Diese Werte für p haben also keine geometrische Bedeutung.
Um nun auch zu bilden, schreiben wir
d o
V =
dy
d x
{q 1 — Q q — q 2 ) (q 4 — 3 p 3 q+ 3 p 2 q 2 —.2 Q q 3 — g 4 ) . (p 2 + g 2 ) 2 . (2 p — g) a
Setzen wir diese Faktoren der Reihe nach = u, v, w, z, so ist nach einer bekannten Differentiationsregel:
dy' dz , dw, d v , du
s—- — U.V.W. - r. h U . V. z . - , k U . W . Z \- V .W . Z . —
d Q Op d q d q d q
In Anwendung auf unsern Fall folgt
= o = — (q 2 —qv—g 2 )(2p—q)~+ q(q 2 —qq —q 2 )(^q—q)~' T ■(e 2 +g 2 )
— — —q 1 ) ( 2 q — q)~. (q 4 — 3 q 3 g + 3 p 2 g 2 — 2 q g 3 —g 4 ) (4 p 3 —9 q 1 q+G q q 2 — 2 g 3 )
+ (2p-#(2p-g) V)
= (q 2 + e q—Q 2 ) (p 2 + g 2 ) (p 4 — 3 p 3 g+3 p 2 g 2 —2 p g 3 — g 4 )
+ p (p 2 —q q—q 2 ) (q 4 —3 q 4 q + 3 q 2 q 2 —2 p g 3 —g 4 )
+ (g 4 + 2 pg 3 —3 pV + 3 p 3 g—p 4 ) (2 p—g) 2
+ (p 2 —pg-g 2 ) (2 p-g) (p 2 + g 2 )
Multipliziert man die Klammern aus und ordnet nach Potenzen von p, so findet man folgende Schluß
gleichung 8. Grades:
5 p 8 — 18 p 7 g + p 6 (19 g 2 —2) — p 5 (12 g 3 —7 g) —p 4 (3 g 4 +9 g 2 )+p 3 (17 g 3 +7 g 3 )
— 9 p 2 g c +p (3 g 7 — g 5 )+2 g s = 0 Va)
Für g = 1 geht sie in die folgende über
5 p 8 —18 p 7 +17 p 6 —5 p 5 —12 p 4 + 24 p 3 — 9 p 2 + 2 p + 2 = () = £’ Vb)
Substituiert man in Vb) der Reihe nach für p: 1, 2 und 3, so wird
B — +6 für p = 1, B = —156 für p = 2 , B — +4220 für p = 3
Danach liegen zwischen p — 1 und p = 2, und zwischen p = 2 und p = 3 reelle Wendepunkte (B und
Bi, C und C\ der Fig. 4, Tafel I).
