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Beiträge zur nautischen Astronomie. 
Geschichte. Man findet die eigenartige Aufgabe zum erstenmal von Grün er t im Archiv der Mathematik 
und Physik behandelt (7. Teil, pag. 104ff.), jedoch nur vom mathematischen Standpunkt aus und ohne 
Rücksicht auf praktische Anwendung. Eine solche strebte Riunker zur Bestimmung der Polhölie an 
(Handbuch der Schiffahrtskunde, 1850, pag. 162 ff.) in richtiger Erkenntnis des großen Vorzugs, den Azimut 
beobachtungen gegenüber den mit dem Refraktionsfehler behafteten Höhenmessungen haben. Allein dieser 
Vorteil wiegt die Schwierigkeiten nicht auf, welche diese Art der Polhöhenbestimmung darbietet: Erstens 
sind zur gleichzeitigen Ermittlung der Azimute zweier verschiedener Sterne zwei Beobachter 
notwendig, zweitens fällt die Schlnßgleichung viel zu unübersichtlich aus, als daß sie zur numerischen 
Durchrechnung sich eignen würde. Dazu kommt, daß Grün ert und Rümker, deren Lösungen übrigens 
völlig identisch sind, nicht direkt die geographische Breite zu eruieren suchen, sondern zuerst mittelst 
einer Gleichung vierten Grades eine Hilfsgröße tang -j } - (/<,—jt/ 2 ) bestimmen, um mit ihrer Kenntnis in 
durchaus nicht einfacher Weise auf das astronomische Dreieck: Zenit-Pol-Stern überzugehen. 
Diese komplizierten Lösungen scheinen in Lehrbücher keinen Eingang gefunden zu haben; uns ist 
nur die Trigonometrie von Heis bekannt, in welcher sich im wesentlichen die Grün ertsche Behandlung 
findet. Erwähnt wird das Problem auch noch von Weyer (Zeit- und Orts 
bestimmung; allgem. Enzyklopädie der Physik, pag. 738) und von Israel- 
lloltzwart in seinem eingangs zitierten Aufsätze. Die Lösungen Grünerts 
und Rümkers sind indirekte; bis zum Jahre 1904 sind keine ernstlichen 
Versuche zu direkten Lösungen gemacht worden. Erst liier erfuhr das 
Problem eine direkte überaus elegante Behandlung durch S. Günther 
(vgl.: das Pothenotsche Problem auf der Kugelfläche; Sitzungsber. d. math.- 
physik. Klasse d. k. bayr. Akad. d. Wiss. 34. Bd., II. Heft) die wir deshalb 
im folgenden ausführlich wiedergeben werden. 
Zuvor sei jedoch die Aufgabe d) der II. Gruppe einer näheren Betrachtung 
unterzogen. Da in diesem Falle d, Js, Js, Ja und Ja' gegeben sind, so 
können auch die Großkreisbögen (in der nebenstehenden Figur ist SS’S' 
ein Stück eines Parallels oder Kleinkreises) SS'=c; S' S" — f und SS" = g als bekannt angenommen 
werden. Nennt man die drei unbekannten Höhen h. lt' und h" resp. x, y und g, so hat man zu ihrer Be 
rechnung folgende drei Bestimmungsgleichungen: 
cos e = sin x • sin y + cos x ■ cos y ■ cos Ja, 
cos f = sin y■ sin g + cos y• cos s■ cos Ja, 
cos y = sin x ■ sin z + cos x ■ cos z ■ cos ( Ja + Ja'). 
Mit ihrer Kenntnis hätte man dann die Seite FZ = 90°—<p und damit die geforderte Polliöhe zu berechnen. 
Übrigens ist die usuelle Formulierung der Pothenotsehen Aufgabe eine etwas andere. Man 
kennt die Azimute und « 2 zweier gleichzeitig beobachteten 
Sterne der bekannten Deklinationen d 1 und d 2 > gesucht ist 
die Polhöhe q>. Hier ist das sphärische Dreieck ST FS" vollständig ge 
geben, also auch &* S" = d und ebenso jCS'FS" = Unter Anwendung 
des Cosinussatzes auf die drei Dreiecke FZS, FZS" und S'ZS' erhält 
man eine direkte Lösung aus den drei Gleichungen: 
I sin dj = sin cp • sin y — COS (P ■ cos y ■ COS «!, 
II sin d 2 = sin q> ■ sin z — cos <p ■ cos z ■ cos an, 
III cos d = sin p • sin z + cos y ■ cos z ■ cos (<4—di), 
welche. sich in ihrem Bau von den obenstehenden der Aufgabe d) nicht 
unterscheiden, nur daß (p selbst schon eine der drei Unbekannnte ist. Pig- 3. 
Aus I würde nun zunächst sin y als irrationale Funktion zweiten 
Grades von cp und auf gleiche Weise sin z aus II hervorgehen; die zwei hieraus entfließenden Werte 
für sin y und sin g hätte man dann in die zu 
(1 — sin 3 y) (1 •— sin 2 z) ■ cos 2 (a 3 — «i) = cos 2 d — 2 cos d ■ sin y ■ sin z + sin 2 y ■ sin 2 z