Die Balm des Planeten (279) Thule. 
I 
die neue Methode wenig bekannt zu sein scheint, so dürfte die im folgenden gegebene Entwicklung der 
selben, zumal sie gegenüber der älteren sehr kurz und auch wesentlich kürzer als die Oppolzersehe 
Ableitung ist, einiges Interesse beanspruchen. Ich werde damit die Ableitung von Formeln zum Übergang 
auf oskulierende Elemente verbinden und durch ein Rechenbeispiel die Anwendung erläutern. 
A. Die Grundgleichungen des Problems. 
Die Differenzialgleichungen des Problems der drei Körper, durch die die gestörte Bewegung eines 
Planeten um die Sonne charakterisiert wird, sind: 
d 2 x Irx 
dt 2 r 3 
¥ 
d 2 y 
'dt 2 
d 2 g 
dt 2 
+ 
+ 
¥y 
r 3 
(W 
dy 
dQ 
dz 
wo die Störungsfunktion 12 bestimmt ist durch 
a =6 
f A’l — * 
1 J 3 
r 3 
► = (X) 
1 !h — V 
Vi 
• — (F) 
l ^ 
»T s 
\ 0i — * 
1 
»T®. 
■ = (Z) 
XX x + yy x 
+ z 
(i), 
Die rechtwinkligen Koordinaten x, y. g und a\. y lt z y des gestörten Planeten mit der Masse m = 0 und 
des störenden Planeten mit der Masse m x beziehen sich auf ein festes Koordinatensystem, das seinen 
Ursprung im Sonnenmittelpunkte hat. Die gegenseitige Entfernung der beiden Planeten ist gegeben durch 
z/ 2 = (x x — x) 2 + (y x — y) 3 + (z x — z) 2 = r 2 + »T 2 — 2 r r, cos (rr x ), 
worin r und r, die Radii vectorcs des gestörten und des störenden Planeten und (rr-,) den von diesen 
Radiivectoren eingeschlossencn Winkel bezeichnen. 
Über die Richtung der Koordinatenachsen kann nach Belieben verfügt werden. Es soll zunächst die 
AM-Ebene mit der ungestörten Bahnebene zusammen fallend gedacht werden. Durch diese Wahl wird die 
auf der Bahnebene senkrechte Koordinate z von der Ordnung der Störungen. Die avAxc legen wir durch 
das Perihelium des ungestörten Planeten. Ist nun (r) die Projektion des Radiusvektor auf die XF-Ebene, 
>' 2 = (r) 2 + z 2 
so ist 
und 
und 
Setzt man: 
= (r)* V 
2 Of 
3 *“ i. 
5 z 2 
2 Of | 
“4 W 
o z 
1 (ff* 
*4 
• H- 
so erhalten die Gleichungen (1) die Form: 
o • i 
4 ■ (i ff* 
X = (X) + Je 2 ex 
F = (F) + ¥ey 
Z = (Z) + ¥ez, 
(l2 -<' , 1.2 JL — X 
dt 2 + " {rf A 
d 2 V , 7 , 3 V _ y 
dt 2 1 (r) 3 
d~ g 7.2 g 
+ w 
dt 2 
= Z. 
(2)- 
15. Entwicklung der Störung des Radiusvektors und der /eit. 
Diese Differentialgleichungen (2) sind auf Quadraturen zurückzuführen. Die dritte Gleichung davon 
ist eine Störungsgleichung nach der Wahl des Koordinatensystems. Die beiden anderen Gleichungen be 
schreiben die Bewegung des Planeten in der ungestörten Bahnebene; sic müssen daher noch so trans 
formiert werden, daß man die Störungswerte gesondert erhält. Zu diesem Zwecke sollen sie den folgenden