Prof. Dr. C. Borgen: Ueber die Anordnung der Nadeln einer Kompassrose etc.
9
Um aus diesem Ausdruck die entsprechende Formel (8) der Abhandlung von 1897 abzuleiten, ist fol
gendes zu beachten: in jedem der Koeffizienten von (9) sind die die Lage der den drei Koordinaten-
Richtungen parallelen Stäbe definirenden Substitutionen für ip und «—ß zu machen und die so entstehenden
drei bezw. zwei Ausdrücke zu addiren. Wenn wir nun mit A (90°, «), A (90°, 90°+*), A! (0) bezeichnen, dass
in dem Ausdruck für den Koeffizienten A der Formel (1) gesetzt werden soll, bezw.: ip = 90°, u—ß =
ip — 90°, u—ß = 90°+1-; ip = 0° und diese Bezeichnung analog auf die andern Koeffizienten anwenden,
so ergeben sich folgende Beziehungen zwischen der hier angewendeten Bezeichnung und der von 1897:
^ A (90°, i) + ~ A (90°, 90°+ e) + ~ A! (0) = P
«o e o e b
§ B (90°, A + § B (90°, 90°+ e) + *{ B' (0) = Q
€ () 6 o e o
~ C(90°, f) + ~ C (90°, 91)°+ i) + ^ C' (0) = P
4 A (90°, i) = a 4 A (90°, 90°+ f ) = b
f
fi
^A'(O) = c
4 B (90°, f) = d 4 B (90°, 90°-f-1) = e ^B'(O) = f
4 C (90°, i) = g 4 0(90°, 90°+ f ) = h
0)
Für die mit den Indices 1 und 2 bezeichneten Grössen und den ebenso bezeichneten Grössen in den
Formeln (5) der Abhandlung von 1897 finden ganz analoge Beziehungen statt, die wir aber hier nicht aus
führlich hersetzen wollen. Beispielsweise seien nur folgende angeführt:
(90°, e) = «i,
^Kb 2 (90°, 90°+ «) = e-i u. s. w.
Ausserdem ist bei der Vergleichung bezw. Uebertragung der obigen Formel (9) auf die Formel (8) von 1897
die oben gemachte Bemerkung bezüglich des Werthes von ct—ß da, wo diese Grösse in der Verbindung
ö—(«—ß—t) vorkommt, zu beachten. Der mit sinip cos ip multiplizirte Tlieil von (9) Fällt ganz weg, weil
dies Produkt sowohl für ip — 0°, als auch für ip — 90° Null wird.
Als Beispiel wollen wir die Koeffizienten von [2 —<5+(«—ß— *)] und ^ [4£'+d—(«—ß—f)] ab
leiten. Es ist:
cos
^./^+^1,900 , = ff2+d L
e;, e„ 4 4
h+ei
4
d-i — cii
4
e-i—lh
M^^2+Pl( 90 o yo o +i) =
e*e- 0 4
-
e 0 e 0 4:
4 K Bi ~ Al (90°, 90°+1) =
fl 1 ’ n-
cos
und ct—ß—s = 0°
„ u—ß—e = 270°
„ a—ß—i- = 0°
„ a-ß- £ = 270°
Werden diese Wertlie in (9) eingesetzt und zusammengezogen, so erhält man:
(h+äx+e-t-h sm (2 r _ rf) _ «i-rL+e.+h. c<w (2 .,_ 5) + «rMi än(4r+rf) _ .«<-d-i-bi-e, ^^^
Ebenso ist für die andern Koeffizienten zu verfahren.
Soweit die frühere Arbeit. Aus dem vorstehenden ist ersichtlich, dass vorausgesetzt wurde, dass nur
eine Nadel vorhanden sei, eine Konstruktion, welche bei den heute zur Anwendung gelangenden Kompass
rosen nicht mehr vorkommt, da diese 2, 4 oder mehr Nadeln enthalten. Es ist daher unsere nächste Auf
gabe, die vorstehenden Formeln so zu ergänzen, dass sie auf die gebräuchlichen Rosen Anwendung finden
können und zu dem Ende werden wir als erste Aufgabe die Kräfte aufsuchen, welche auf eine Nadel wirken,
die ihren Drehpunkt ausserhalb ihres Körpers hat.
Archiv 1902. 1-
