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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte — 1898 No. 1 — 
sein, ob bei Division einer Funktion oder Koiünktion durch 2 dem Ergebniss ein „ angehängt werden solle 
oder nicht. Dies bedingt demnach einen Zweifel über die Kreishälfte, in welcher der entsprechende Winkel 
liegt, der in jedem speziellen Falle leicht gehoben werden kann. Im übrigen zeigen die Formeln (3) oder 
auch die obige Uebersicht, dass man ausser in diesem einen Falle über den Quadranten, in welchem der 
gesuchte Winkel liegt, niemals im Zweifel sein kann. 
Führt eine Rechnung auf das Ergebniss, dass eine mit « versehene Zahl durch 2 zu dividiren sein 
würde, so ist dies ein Zeichen dafür, dass die Lösung der Aufgabe nicht möglich ist, denn diese Operation 
entspricht der Quadratwurzel-Ausziehung aus einer negativen Zahl. 
Als spezielle Wertlie der Mercator’schen Funktion merke man sich folgende: 
/(0°) = 0, /(90°) = +oo 
/(180°) =s 0, /(270°) = -oo 
co/( 0°) — +oo, cof (90°) — 0 
cof (ISO 0 ) = —oo, cof (270°) — 0 
Im Anschluss hieran kann die obige Zeichenregel auch folgendermaassen ausgesprochen werden: 
„Indem der Winkel von 0° bis 360° wächst, ändert, ausgehend von dem Zeichen +, sowohl die 
Funktion wie die Kofunktion beim Durchgang durch 0 ihr Vorzeichen und nimmt beim Durchgang durch 
+oo ein n auf, wobei zu beachten ist, dass ein neu hinzutretendes n ein schon vorhandenes aufhebt.“ 
Bei der Ableitung der Formeln für die Auflösung sphärischer Dreiecke werden wir von den Formeln 
der sphärischen Trigonometrie ausgehen, weil dieser Weg einfacher erscheint, als wenn man sie aus den 
Eigenschaften der Höhenkreise auf der Mercator-Karte ableiten wollte, was auch möglich wäre. Es entsteht 
daher die Aufgabe, Formeln, welche durch Kreisfunktionen ausgedrückt sind, in solche umzuformen, welche 
nur Mercator’sche Funktionen enthalten. Hierbei handelt es sich stets um die Einführung von Hiilfswinkeln 
durch eine oder mehrere der folgenden Substitutionen: 
sin x 
cos y 
— tg 1 
COS X 
sin y 
— cot iS, 
cos X 
cosy 
— tg i 
sin X 
sin y 
= cot 2 £, 
sin x ■— tg ■> g, 
cos x — tg iS 
Da die Ableitung der entsprechenden Mercator’schen Formeln zur Berechnung des Hülfswinkels immer 
denselben Gang hat, so möge es genügen, nur die erste der obigen Umformungen auszuführen. 
. sinx 
Es sei — to i g, dann erhält man: 
cos y 
tg (45°+ i S) = 
1 +tg iS cos y +sinx 
1—tg 41 cos y—sin x 
2 cos ( X ~2 ~ —45°^ s ^ n (^45°+ X 
— 2si« (£±Z - 45°) («•+ 2=2) 
Da aber cos (w — 45°) — sin (45°+ «>) und sin iw — 45°) — -—cos (45° + tu) ist, so wird: 
tg{4BT+U) - tg (45°+ £+2) . tg (45°+ 
und wenn beiderseits die natürlichen Logarithmen genommen werden und durch sin 1' dividirt wird: 
/(?) = f&+y)+/(*—y) 
Auf gleiche Weise findet man die entsprechenden Ausdrücke für die anderen Substitutionen und erhält 
folgende Zusammenstellung: 
(4) a j— = tg iS ■■ /(?) =f(x + y) +f(x—y) 
(5) — cot iS ■■ /(|) ~ f{x + y)—f(x — y) 
ottv y 
(6) = tgit ■ /(§) = cof(x + y) + cof(x-y)