Prof. Dr. C. Borgen: Ueber die Auflösung nautisch-astronomischer Aufgaben etc. 
I .n .tg (45°+90°+ ix) l. n . tg {180°—(45°—ix)1 l. n. (—tg (45°— ix)) 
f (180°+x) - L = i — - 
Es ist aber: tg {45°—ix) — rot (45°+ Jx) ^ (45° 
genommen und durch sin 1' dividirt wird, so erhält man: 
sin 1' sin 1' 
, und wenn hiervon der natürliche Logarithmus 
/ (180°+ x) 
i.n, (-»(46»+**)) ^ _ /( ^ 
sin 1' 
In ähnlicher Weise können alle Beziehungen abgeleitet werden, welche zwischen der Funktion oder 
Kofunktion eines beliebigen Winkels und der Funktion oder Kofunktion des spitzen Winkels stattfinden, 
welcher die Abweichung des gegebenen Winkels von 90°, 180°, 270° oder 860° angiebt. Man hat dabei, 
wie schon gesagt, immer im Auge zu behalten, dass man es mit Logarithmen von trigonometrischen Funktionen 
zu thun hat und dass daher alle Regeln, die für diese gelten, zur Anwendung kommen müssen. 
Auf die soeben angedeutete Weise erhält man die folgende Uebersicht über die Beziehung zwischen 
der Funktion oder Kofunktion eines in einem beliebigen Quadranten liegenden Winkels und der Funktion 
oder Kofunktion des zugehörigen spitzen Winkels: 
(3) .... 
/( 90°—x) — + cof(x) 
/( 90°+») = +cof(x)„ 
/(180°—x) = +f(x) n 
/(180°+ x) — —f(x) n 
f (270°—x) — —cof{x) n 
/(270°+«) = — cof(x) 
/(360°—x) = /(-*) = -f(x) 
cof{ 90°—») = +f(x) 
cof ( 90°+x) — —f(x) 
cof (180°—x) = —cof(x) 
co/(180°+#) — cof (x) n 
cof (270°— x) — —f{x) n 
cof(270°+x) r= +J(x) H 
cof{360°—a) — cof ( x) = + rof (x) n 
Diese Beziehungen können durch folgende Regel dargestellt werden, welche man sich wohl zu merken 
hat, weil fortwährend von derselben Gebrauch gemacht wird. Denken wir uns einen Kreis durch zwei auf 
einander senkrechte Durchmesser in vier Quadranten getheilt und setzen wir an die Endpunkte des hori 
zontalen Durchmessers 0° und 180° (Winkel von rechts nach links herum, gegen den Uhrzeiger, gezählt) 
an diejenigen des vertikalen oben 90°, unten 270°, so umfasst die rechte Kreishälfte die Quadranten I und IV, 
die linke II und III und ebenso die obere Kreishälfte die Quadranten I und II, die untere III und IV. Die 
Regel, durch welche die Beziehungen (3) wiedergegeben werden, lautet dann folgendermaassen: 
„Die {Kofunktion} eines Winkels * st — der {Kofunktion) cles s P itzen "Winkels, wenn dieser von 
dem horizontalen und — der 
Kofunktion) 
Funktion ) 
des spitzen Winkels, wenn derselbe von dem vertikalen 
Durchmesser aus gerechnet wird. Man giebt derselben das negative Zeichen, wenn der Winkel, dessen 
(Kofunktion! § esiicll t wird, in der Kreishälfte liegt, und hängt ein „ an, wenn derselbe in 
der { unteren j Kreishälfte Hegt.“ 
Zur besseren Einprägung dieser Regel kann auch folgende Uebersicht dienen: 
Kofunktion 
+ 
j n 
+> « 
Aus den Regeln für das Rechnen mit Logarithmen folgt, dass in einem mehrgliedrigen Ausdrucke das 
einem Gliede angehängte n auf den ganzen Ausdruck übergeht, sodass also f(x)+f(y) n — {f(x)±_f{y)\ n 
ist und dass eine gerade Anzahl von „ sich gegenseitig aufheben, sodass f (x) n +f(y) n — f(x) +_f(y) 
und 2f {x) n — 2/ (x), dass aber dagegen f(x)+f(x)„ — 2f {x) n ist. Andererseits kann es zweifelhaft 
Quadrant 
~T~ 
II 
III 
IV 
Funktion 
+ 
d“ > n 
I n