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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte — 1S9S No. 2 — 
komponenten, auf die schon an einer früheren Stelle hingewiesen wurde (S. 2). Es mag deshalb gestattet 
sein, kurz darauf einzugehen, wennschon von den darauf bezüglichen Entwickelungen hier keine Anwendung 
gemacht werden soll. Ich will jene Komponenten £, H, Z nennen und in folgender Form schreiben: 
£ — —X sin u. dg u cos l — Ysin u . cosec u sin X — Z. sin u cos l 
H = —X sin u. dg u sin X + Y sin u. cosec u cos X — Z. sin u sin X 
Z => Xsinu — Z.cosu 
woraus umgekehrt folgt: 
Xsinu — —cos u (£. sin u cos X + H. sin usinX) + Z . (1—cos u' 1 ) 
Y sin u = — £. sin u sin X + H. sin u cos i 
Z — — (£. sin u cos X + H • sin u sin X) — Z . cos u 
Diese Formeln gelten allgemein, sind aber, da die Entwickelung beim Ellipsoid nicht nach u, sondern 
nach v durchgeführt wird, in der hier gegebenen Gestalt nur für die Kugel brauchbar. Man erkennt aus 
ihnen, dass man für £, H, Z begrenzte Kugelfunktionenreihen erhält, wenn solche für Xsinu, Ysinu, Z 
gegeben sind, und dass unter gewissen Bedingungen — denselben, die kurz vorher erwähnt wurden — auch 
das Umgekehrte gilt. Um die Transformation wirklich durchzuführen, hat man eine Anzahl von Identitäten 
zu benutzen, durch welche die Produkte 
R’rn (COS U) . COS U, Um (COS U) .Sinti, RZ (COS U) . cosec U , Rm (cos u). ctg u 
in Summen von Kugelfunktionen umgewandelt werden, zu denen allerdings bei den beiden letzten Produkten 
noch Ausdrücke von anderer Form treten, die indessen vermöge der für Xsimi und Ysinu geltenden Be 
dingungsgleichungen in £ und H verschwinden. Es ist, wie aus bekannten Eigenschaften der Kugelfunktionen 
abgeleitet werden kann, in abgekürzter Schreibweise und mit «i = 1, «2 = «3 = • • ■ • = 2: 
RZ. cos u — 
Tm jjn+l 1 ^ in. jyn—1 
l«l Dil 
Rrn . sin U 
' m 
n+l 
r m—l 
9 
x>«+i 1 ^ ’ m-1 r>n-1 
"»-1 r : * z ■tt'm 1 
e m -i rZ 
r m jyn+1 
— -^1 Mm+l 
Zm+1 
Sm 
2 
't'ra 
R 
n-l 
«l+l 
für m > 0 
Diese Formeln gelten allgemein, wenn man festsetzt, dass rZ für n <Lm Null bedeutet. Aus ihnen 
folgen ferner die nachstehenden Bekursionsformeln, die die Lösung für die beiden letzten Aufgaben geben: 
71 n n—2 
r>K raw ,/ Tm r>»-» I e m-l. r m r ™ 
Jx m ■ cosec U — rtm-l T ~~ r »-jxj ■ a - 
2 [Tm-d 
. cosec u 
1*171—1 
„n 9 
' m j> n—\ • " 
' L 7 %+l 1 
n «—2 
? Dl V Dl 
r n-i 
r m+l 
Sm (>ffl+!) ä 
R« 
RZ. dg u 
’ m p)i 
— -W -Uwi-l • 
Du—1 
r n 
• m ryn , 
— S Rm+l + 
rZ+1 n—m 
2« + l tZ 1 Tyn-x 
• -+- RZ ■ cosec u 
n + m r m 
2 n + 1 zv«, j>n—i 
. cosec u 
Die überall ausser bei RZ-cosu auftretenden doppelten Lösungen sind deswegen nöthig, weil aus dem 
mit RZ stets vereinigten Faktor cos ml oder sin ml durch den mit sin u, cosec u oder dg u zusammen 
auftretenden Faktor cos 1 oder sin 1 immer gleichzeitig Funktionen von (m+1) l und von (:m—1) X ent 
stehen, die nothwendigerweise Kugelfunktionen mit den entsprechenden unteren Indizes («1+1) und (m—1) 
als Faktoren verlangen. 
Es ist schon darauf hingewiesen worden, dass die Koeffizienten der für X sin v und Ysin v geltenden 
Pieihen gewissen Bedingungen rein analytischen Charakters unterliegen, was bei denjenigen der Keihen für