Prof. Dr. C. Borgen: Ueber die Auflösung nautisch-astronomischer Aufgaben etc. 
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werden etwas schwerfällig. Er ist nämlich genöthigt, die Hülfswinkel, auf deren Einführung die. Umformun 
gen beruhen, immer wirklich aufzuschlagen, während man hei Anordnung der Tabelle in der Art, wie sie 
Guyou und Ttirr geben, einfach nur zu einer gegebenen Zahl die unmittelbar daneben stehende Zahl zu 
entnehmen hat (was in sehr vielen Fällen, wo nicht die grösste Genauigkeit verlangt wird, sogar ohne Inter 
polation geschehen kann), ohne sich darum zu kümmern, was der zugehörige Winkel ist, noch darum, ob 
man zur Funktion die Kofunktion oder zur Kofunktion die Funktion entnimmt. Dagegen muss anerkannt 
werden, dass die eingeführten Hülfswinkel allemal eine leicht erkennbare geometrische Bedeutung haben 
und die Ableitung der Formeln sehr klar und einfach ist. 
Dies sind die wichtigsten der neuerdings erschienenen Arbeiten, welche dem Verfasser dieses bekannt 
geworden sind. Es ist aber wohl möglich, dass dem Verfasser die eine oder die andere Abhandlung ent 
gangen sein mag; es war aber nicht seine Absicht, ein vollständiges Litteratur-Verzeichniss zu geben, er 
wollte nur auf die wichtigsten neueren Arbeiten aufmerksam machen. Eine ausführliche Analyse der drei 
oben genannten Arbeiten hat Prof. Gelcich in den „Mittheilungen aus dem Gebiete des Seewesens“, 1896, 
S. 677 ff. gegeben unter dem Titel: „Zur Lösung der nautisch-astronomischen Probleme mit den Tafeln der 
vergrösserten Breiten“, worin derselbe auch auf die geschichtliche Entwickelung des Verfahrens näher ein 
geht, jedoch die nachfolgend noch zu erwähnende wichtige Arbeit dabei übergeht. 
Unter den älteren Arbeiten auf diesem Gebiete ist vor allem zu erwähnen eine Abhandlung des Navi 
gationslehrers Preuss in Elsfleth, welche in den „Annalen der Hydrographie“, 1876 und 1877, unter dem 
Titel: „Homographische Nautik, Ortsbestimmung vermittelst Höhenkurven in der Karte“ veröffentlicht worden 
ist. Preuss, welcher, wie auch Guyou, auf den Untersuchungen von Hilleret 1 ) fusst, entwickelt die 
Eigenschaften der Höhenkurven in der Mercator’schen Karte und zeigt, wie man mit Vortlieil die Tabelle 
der Meridionaltheile bei den einschlägigen Rechnungen benutzen könne, verwendet diese jedoch nicht aus 
schliesslich, wie dies Guyou, Türr und Goodwin thun und wie es im nachfolgenden geschehen soll, son 
dern verwendet daneben auch noch die gewöhnlichen trigonometrischen Funktionen. Hat so Herr Preuss 
bereits 15 oder 18 Jahre vor Guyou die Wichtigkeit der Hilleret’sehen Untersuchungen über die Höhen 
kurven in der Mercator-Ivarte erkannt und weiter ausgebaut, so ist doch der letztere konsequenter in der 
Anwendung der Tabelle der Meridionaltheile und durch Einführung des Begriffs der Kofunktion auch glück 
licher gewesen. 
Auch Villarceau und de Magnac 2 ) haben die Höhenkurven benutzt, dieselben 'verwenden indes 
weniger die Meridionaltheile als vielmehr die mit diesen eng zusammenhängenden Hyperbelfunktionen, und 
zwar zum Theil noch in Verbindung mit den gewöhnlichen Kreisfunktionen. Die Verwendung der Hyperbel- 
funktionen für die Lösung nautischer Probleme empfiehlt an verschiedenen Stellen auch Prof. Ligowski. 3 ) 
Im nachfolgenden soll nun gezeigt werden, in welcher Weise alle nautisch-astronomischen Aufgaben 
ausschliesslich mit Hülfe der Tabelle der Meridionaltheile aufgelöst werden können. Zu dem Ende wird es 
zweckmässig sein, zunächst die Eigenschaften der Mercator’schen Funktion, namentlich die Beziehungen der 
Funktion zur Kofunktion für alle Winkel abzuleiten, darauf die Auflösung sphärischer Dreiecke mittels der 
selben zu entwickeln und schliesslich die Anwendung auf die nautisch - astronomischen Probleme zu zeigen. 
Eine Tabelle der Mercator’schen Funktion in der von Guyou gegebenen Anordnung, jedoch abweichend 
von dieser in Bezug auf den Uebergang von der Funktion zur Kofunktion oder umgekehrt, ist angehängt. 
A. Die Mercator’sche Funktion. 
Bekanntlich besteht da-ä Wesen der von Gerhard Mercator in vsum navigantinm erfundenen Karten- 
Projektion darin, dass die Meridiane als parallele gleichabständige gerade Linien dargestellt werden, wäh 
rend die Breitengrade in solcher Weise wachsen, dass das Verhältniss der Längen- und Breitengrade auf 
jedem Breitenparallel dasselbe ist wie auf der Kugel. Auf der Kugel verhält sich die lineare Grösse eines 
Längengrades zu der eines Breitengrades wie der Radius des Breitenparallels, dem der Längengrad an 
gehört, zu dem Radius der Kugel. Ist der letztere — r, so ist der Radius des Breitenparallels <y> — r cos y>, 
es verhält sich daher: 
Längengrad : Breitengrad = r cos y : r — cos ip: 1. 
’) Revue maritime et coloniale, 1874. 
2 ) Villarceau et de Magnac: Nouvelle navigation astronomique. — Paris 1877. 
®) Z. B. Nautische Tabellen. — Kiel 1873.