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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte — 1894 No. 6 — 
r h , 2r ti , 2sind aber die Entfernungen der Punkte £ t r n , £ 2 ij a von den Nullpunkten ihrer Skalen 
Q-j.O) resp. (0.0) (0.0); und da man sich auf den Skalen beliebige Funktionen von g, x, y aufgetragen denken 
kann, so erhält man für die darstellbaren Funktionen die Form: 
Z ■= X+ 7, 
wo jeder grosse Buchstabe eine beliebige Funktion des gleichnamigen kleinen ist. Das allgemeine Kriterium 
dafür, dass sich eine Funktion auf diese Form bringen lässt, sowie das Schema, nach dem man sie eventuell 
umzuformen hat, lassen sich genau in derselben Weise finden, wie esLecornu 1 ) für die allgemeinere Form 
cP ly X 
dz 
dz 
ZiX+Z-iY — 1 geleistet hat. Bezeichnet man ^ mit p, ^ mit q, so ist ^ — 0 die von willkür 
lichen Funktionen freie Bedingung dafür, dass eine Funktion auf die Form Z = X+Y gebracht werden 
kann. Um für eine gegebene Funktion, die der Differentialgleichung genügt, die Funktionen XYZ zu be- 
cPlgZ 
Ci 
stimmen, bilde man lg —. Dies muss, da 
J 
p ' dx dy 
von denen die erste nur von x, die zweite nur von y abhängt. Man setze: 
= 0 ist, die Summe zweier Funktionen f und g 
sein, 
/ - -IgX' 
9 = hr Y’ 
also 
also 
x = 5' 
Y 
dx 
§e° dy 
Z ergiebt sich dann aus der Gleichung Z — X+Y mit Benutzung der gegebenen Beziehungsgleichung. 
Es soll nunmehr abgeleitet werden, wie man bei den hexagonalen Abaken alle Maassstäbe in gleich 
förmige umwandeln kann. Wie schon erwähnt, können diese Tafeln auch als Darstellungen durch drei 
Scharen von parallelen Geraden aufgefasst werden; die Messgeraden dienen also nur dazu, die Werthe der 
Yariabelen, welchen die einzelnen Parallelen entsprechen, anzuzeigen, und es ist klar, dass sie in dieser 
Eigenschaft durch beliebige Linien ersetzt werden können, die jede Gerade des zugehörigen Parallelstrahlen 
büschels nur einmal schneiden. Man kann also auch jede Messgerade durch eine solche Kurve ersetzen, 
deren Bogenstücke proportional den entsprechenden Aenderungen der durch sie dargestellten Variabele sind. 
Diese heisse x. Auf der Messgeraden werde nach der darzustellenden Funktionsgleichung eine Funktion 
£ = f(x) aufgetragen. Dann haben wir also an Stelle dieser Geraden eine Kurve einzuführen, deren Bogen 
element proportional zu dx ist. Dieses Bogenelement in rechtwinkeligen Koordinaten ist Vd^+dtj 2 . Wir 
erhalten also die Differentialgleichung: 
cl^+dtj 1 — c‘ 2 dx 2 , wo | = f(x) 
und c ein Proportionalitätsfaktor ist. Man erhält: 
n = J> c 2 —(/' (a;)) 2 dx und £ — f(x). 
Die Elimination von x giebt die Gleichung der Messkurve in rechtwinkeligen Koordinaten. 
Als Beispiel benutze ich den Abakus für Multiplikation und Division, der in dem Buche von d’Ocagne 2 ) 
angegeben wird. Die Funktionsgleichung z — x.y schreiben wir in der Form: 
Igz = Igx+lgy. 
Sie kann nun direkt mit der oben angegebenen Gleichung 
Z = X+Y 
identifizirt werden, und die Funktionen, welche man auf den drei Messgeraden aufzutragen hat, sind also 
lg z, lg x und lg y. In dieser Form findet sich' die Tafel bei d’Ocagne ausgeführt; die Skalen für die Fak- 
*) Lecornu C.R., CII, S. 813, 18S6. 
2 ) l.c. p. 37.