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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte — 1889 No. 3 — 
Reihenentwickelung von Xsinv so zu gestalten, dass sie an den Polen in aller Schärfe den Werth Null 
ergiebt. Es müssen also die Koeffizienten P 0 °, B 0 l ... durch möglichst kleine Aenderungen mit den 
Gleichungen (7) in Einklang gebracht werden. Ich bestimme zu diesem Zwecke die Grössen ß ü , /P. . .so, 
dass —/3°, B Q y —/P, ...diese Gleichungen befriedigen, und dass die Quadratsumme der dadurch auf der 
ganzen Erdoberfläche herbeigeführten Aenderungen ein Minimum wird. Die Lösung dieser Aufgabe ist so 
einfach, dass ich mich damit begnügen kann, das Resultat anzugeben. Dasselbe lässt sich unter Beachtung 
der identischen Beziehung a” (P 0 n ( cos 0)) 2 = 1 durch das folgende einfache Formelsystem darstellen: 
(28) 
/?°(l + 5+... +(4 ,/ + !)...) = s |^(3 + 7+...(4v+3)...) = d 
ß2v 
4r+l 
v (cos 0) 
/8° 
ß2v+l __ 
4v+3 
3pa*+i ( cog o) 
• ß l 
Eine ähnliche Ausgleichung wird nöthigenfalls bei Ysin v vorgenommen. Es mag hier noch darauf 
aufmerksam gemacht werden, dass man zweckmässigerweise die Entwickelung von Xsinv bis zu den Gliedern 
der (y+l)-ten Ordnung ausdehnt, wenn man bei Ysin v mit denen der r-ten Ordnung abbricht, weil man 
alsdann den früheren Darlegungen zufolge U und W gleich weit, nämlich beide bis zu den Kugelfunktionen 
r-ten Ranges, entwickelt erhält. 
Bei Z führt man am einfachsten zwei unbestimmte Grössen z und z' zur Bezeichnung seines Betrages 
an den beiden Polen ein und fordert dann, dass aus dem Schlussresultat dieselben Werthe von Z für 
v — 0 und v = n hervorgehen. Es führt diese Forderung auf zwei Gleichungen von der Gestalt 
(29). .. z = «i z + (—l) v a q Z+ Const. z' = (—l)" g a i ?'+ ConstJ 
Lt Li Li Li 
die, wie man sieht, im allgemeinen eine bestimmte Lösung ergeben. 
Nicht ganz so einfach gestaltet sich die Behandlung von X und Y. Die Summen der darin mit cos m 7. 
und der mit sinmX multiplizirten Glieder seien durch X m bezw. Y m bezeichnet; es sei also 
X = X 0 +X 1 +X 3 + ....+Z Y= Y 0 +Y l + Y 2 +.... + Z 
Jeder einzelne der hier gesondert dargestellten Theile, mit Ausnahme von X\ und Fi, wird an den Polen 
gleich Null; bei seiner Entwickelung nach Kugelfunktionen kann also sein Werth an diesen beiden Punkten 
als bekannt angesehen werden. Dabei muss freilich im allgemeinen in Bezug auf X 0 und Y 0 eine eben 
solche Ausgleichung, wie sie kurz zuvor bei der Behandlung von X sin v geschildert wurde, vorgenommen 
werden. Wesentlich anders verhält es sich mit X\ und Fj. Bei diesen Grössen, welche an den Polen 
unstetig werden, kommt es darauf an, die früher (S. 18) angegebenen Ausdrücke, durch welche ihre Werthe 
in der Umgebung der Pole dargestellt werden, zu berechnen. Der nach Subtraktion dieser Ausdrücke von 
Xi und Fi verbleibende Rest kann alsdann nach Kugelfunktionen entwickelt werden. Um nun jene Aufgabe 
mit den Hülfsmitteln, welche durch die bisherigen Betrachtungen dargeboten werden, zu lösen, entwickelt 
man zwei aus Xi und Fi zusammengesetzte Grössen, welche von Unstetigkeiten frei sind, nach Kugel 
funktionen, leitet auf Grund dieser Entwickelung ihre Werthe an den Polen ab und schliesst von diesen 
rückwärts auf die Werthe von X und Y. Zwei solche Grössen sind beispielsweise 
Xi cos 2 + Fi cos v sin 7. und Xi sin X —■ Fi cos v cos X 
Die erste wird am Nordpol gleich a, am Südpol gleich a'\ die zweite nimmt an diesen beiden Punkten die 
Werthe b und b' an. Indem man diese Grössen durch das zur Darstellung von Z angegebene Verfahren 
nach Kugelfunktionen entwickelt, erhält man also unmittelbar a, b, a\ V und damit die Koeffizienten «, u, 
ß, ß' der gesuchten, von X und F abzusondernden Ausdrücke. 
Die beiden oben angegebenen Funktionen von Xi und Fi sind nicht die einzigen, welche der gestellten 
Bedingung entsprechen; es giebt unzählig viele andere, welche für sie eintreten können. Im allgemeinen 
wird man bei verschiedener Wahl derselben zwar angenähert, doch nicht genau die gleichen Werthe von 
«, a , ß, ß' erhalten, was darauf beruht, dass die Berechnung dieser letzteren im wesentlichen eine Inter